提升综合素养（一） 解三角形
1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于( ) A．12 C．28
B.21 2
D．63
b2＋c2－a232＋82－7213
解析：选D 由余弦定理得cos A＝＝＝，所以sin A＝，则S△ABC2bc2×3×822
113
＝bcsin A＝×3×8×＝63. 222
2sinB－sinA2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则的值2
sinA为( )
11A. B. 93C．1
7
D. 2
2
2
?3a?2－a22·?2?2222
2sinB－sinA2b－a7??
解析：选D 由正弦定理可得＝＝＝. 222sinAaa2
3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于( ) 3
A. 53C．±
5
3B．－
54D．±
5
114
解析：选C ∵S△ABC＝AB·BCsin∠ABC＝×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝.又θ∈(0，
22532
π)，∴cos θ＝±1－sinθ＝±. 5
4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的332
面积为 m，则此人这时离开出发点的距离为( )
4
A．3 m B.2 m C．23 m
D.3 m
1
解析：选D 在△ABC中，S＝AB×BCsin B，
2∴
331
＝×x×3×sin 30°，∴x＝3. 42
- 1 -
由余弦定理，得AC＝AB＋BC－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)． 5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝A.3 C.7
B．3 D．7
3
，则边BC的边长为( ) 2
22
13222
解析：选A ∵S△ABC＝AB·ACsin A＝，∴AC＝1，由余弦定理可得BC＝AB＋AC－
222AB·ACcos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝3.
6．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝80，b＝100，A＝30°，则此三角形( )
A．一定是锐角三角形
B．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形 C．一定是钝角三角形 D．一定是直角三角形 解析：选C 由正弦定理
b801005
＝得＝，所以sin B＝.因为a aB有两种可能：锐角或钝角．若B为锐角时， cos C＝－cos (A＋B)＝sin Asin B－cos A cos B＝×－1 2 58 339×<0，所以C为钝角，即△ABC为钝角三角形；若B为钝角时，则△ABC是28 钝角三角形，所以此三角形一定为钝角三角形．故选C. 7．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于解析：由题意知a边最大，sin A＝∴a＝b＋c－2bccos A. ∴a＝(a－2)＋(a－4)＋(a－2)(a－4)． ∴a－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7. ∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3. 答案：a＝7，b＝5，c＝3 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝________. sin Cc18解析：因为C＝2B，所以sin C＝sin 2B＝2sin B·cos B，所以cos B＝＝＝×2sin B2b254＝， 5 22 2 2 2 2 2 3 ，则三边长为________． 2 3 ，∴A＝120°， 2 - 2 - 7?4?22 所以cos C＝2cosB－1＝2×??－1＝. 25?5?7 答案： 25 tan A9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝23，C＝45°，1＋tan B2c＝，则A＝________，c＝________. btan A2csin Acos B解析：由1＋＝，得1＋ tan Bbcos Asin B＝ sin Acos B＋cos Asin Bsin?A＋B?sin C＝＝ cos Asin Bcos Asin Bcos Asin B2c123c＝，所以cos A＝，故A＝60°.由正弦定理得＝，所以cbcos Ab2sin 60°sin 45° ＝ c＝22. 答案：60° 22 2 10．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，sin B＝5cos C. 3(1)求tan C的值； (2)若a＝2，求△ABC的面积． 2 解：(1)因为0 3所以sin A＝1－cosA＝ 2 5， 3 52 cos C＋sin C， 33 又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝252 所以cos C＝sin C，tan C＝5. 33(2)由tan C＝5得sin C＝56 56 ，cos C＝ 16， 于是sin B＝5cos C＝. ac11由a＝2及正弦定理＝得c＝3，所以△ABC的面积S△ABC＝acsin B＝×2 sin Asin C22 ×3× 56＝5 . 2 11．(2019·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. - 3 - (1)若a＝3c，b＝2，cos B＝2 3，求c的值； (2)若sin Aa＝cos B2b，求sin???B＋π2???的值． 解：(1)因为a＝3c，b＝2，cos B＝2 3 ， a2cos B＝＋c2－b2 由余弦定理，得2ac， 2?3c?2 ＋c2 2 即3＝－?2?2×3c×c，解得c2＝13，所以c＝33. (2)因为sin Aa＝cos B2b， 由正弦定理abcos Bsin sin A＝sin B，得2b＝Bb， 所以cos B＝2sin B. 从而cos2 B＝(2sin B)2 ，即cos2 B＝4(1－cos2 B)， 故cos2 B＝45 . 因为sin B>0，所以cos B＝2sin B>0， 所以cos B＝25 5 . 所以sin??? B＋π2??25?＝cos B＝5. 12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为a2 3sin A. (1)求sin Bsin C； (2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长． 2 解：(1)由题设得1a2acsin B＝3sin A， 即1a2csin B＝3sin A. 由正弦定理得1sin 2sin Csin B＝A3sin A. 故sin Bsin C＝2 3 . (2)由题设及(1)得cos Bcos C－sin Bsin C＝－1 2， 即cos(B＋C)＝－1 2 . - 4 - 2ππ 所以B＋C＝，故A＝. 33 1a由题设得bcsin A＝，即bc＝8. 23sin A由余弦定理得b＋c－bc＝9，即(b＋c)－3bc＝9， 得b＋c＝33. 故△ABC的周长为3＋33. 2 2 2 2 - 5 -
（浙江专用）2019 - 2020学年高中数学提升综合素养（一）解三角形新人教A版必修5
