《近世代数》期末考试A卷
1. 判断题剩余类环
5中没有非零的零因子。 （ × ）
2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ √ ）
3. 已知H是有限群G的子群， |G|和|H|分别表示G和H的元素个数，则 |H| 不一
定能整除 |G| （ √ ）
4. 数域上的全矩阵环不是单环。 （×） 5. 环中理想的乘积还是理想。 （ √ ）
二、计算证明题
1.设Z是整数集，规定a?b?a?b?3，证明：Z关于所定义的 运算构成交换群。
答：?1?对?a,b?Z,a?b?a?b?3?Z所以“?”在Z上构成代数运算；?2?对?a,b?Z，有?a?b??c?a?b?c?6a??b?c??a?b?c?6,??a?b??c?a??b?c?满足结合律?3?对?a,b?Z,a?b?a?b?3=b?a满足交换律
?4?对?a,b?Z,有a?3?a?3?3?a?3为单位元?5?对?a?Z,有6?a?Z使得a??6?a??a?6?a?3?3?6?a为a的逆元??Z,??构成交换群。
2. 在四元对称群S4中,设??(12)(34),??(1234).
(1) 写出???1?1的轮换分解式(即将???1?1写成一些互不相交的轮换的乘积);
?1(2) 设集合T??{???|??S4}, 试写出T?中全部元素(用轮换分解式表示);
答：
答：?1???1??1??124??234??14??13??12??34??2?T????13?,?14?,?23?,?124??123??234?,?12??
3. 有一队士兵, 三三数余二, 五五数余一, 七七数余三. 问: 这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)
答：设这队士兵有m人,mmod3?2mmod5?1mmod7?3?m的尾数一定为1或6根据三三数之余二,要保证个位数是1或者6, 只能是3?8＋2＝26,或者3?3＋2＝11.根据七七数之余三,要保证个位数是1或者6,只能是7?9＋3＝66或7?4＋3＝31只有：31+7?10=101符合题意。所以，这队士兵最少有101人
4. 求出剩余类环
8的所有理想和所有极大理想。
答：所有理想为0,等价类2生成的理想,等价类4生成的理想和Z8。极大理想为等价类2生成的理想。
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