第 吾十 届全国\华罗庚金杯\少年数学邀请赛决赛试题
一、填空。
1 ?计算：
5护（ADQ 胡 4-126.3-（
）。
）?
1的七巧板拼成（如图1b）,那么这个
2?图1a是一个长方形，其中阴影部分由一副面积为 长方形的面积是（
3?有甲、乙、丙、丁四支球队参加的足球循环赛，每两队都要赛一场，胜者得 那么丁得（
）分。
3分，负者
得0分，如果踢平，两队各得 1分。现在甲、乙和丙分别得 7分、1分和6分，已知甲和乙 踢平，4?图2中，小黑格表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数 字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现在从结点 么单位时间内传递的最大信息量是（
）。
A向结点B传递信息，那
5.先写出一个两位数 62,接着在62右端写这两个数字的和为 8,得到628，再写末两位数 字2和8的和10，得到62810,用上述方法得到一个有 2006位的整数：628101123,,，则 这个整数的数字之和是（
）。
6?智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多同学。老人请同学们按三人一行 排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人， 老人说我知道你们年级的人数应该是（ 数，若这些线段的长度之和为 AB的长度是（
）。
）人。
10500，则线段 , ______________________________ ,
A
7.如图3所示，点B是线段AD的中点，由A，B，C，D四个点所构成的所有线段的长度 均为整
BCD
图3
）。
& 100个非0自然数的和等于 2006，那么它们的最大公约数最大可能值是（ 二、解答下列各题，要求写出简要过程。
（每题10分，共40分）
9. 如图4，圆O中直径Ab与CD互相垂直，AB = 10厘米。以C为圆心，CA为半径画弧
AEB。求月牙形 ADBEA （阴影部分）的面积?
10. 甲、乙和丙三只蚂蚁爬行的速度之比是 8: 6: 5,它们沿一个圆圈从同一点同时同向爬 行，当它们首次同时回到出发点时， 就结束爬行。问蚂蚁甲追上蚂蚁乙一共多少次？（包括 结束时刻）。
11.
分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（
如图5, ABCD是矩
形，BC = 6cm, AB = 10cm, AC和BD是对角线。图中的阴影部分 以CD为轴旋转一周，则阴影部
n取3.14）
12. 将一根长线对折后，再对折，共对折10次，得到一束线。用剪刀将这束线剪成10等份, 问：可以得到不同长度的短线段各多少根？
三、解答下列各题，要求写出详细过程。 13?华罗庚爷爷在一首诗文中勉励青少年：
（每题15分，共30分）
“猛攻苦战是第一，熟练生成百巧来，勤能补拙
28个
是良训，一分辛苦一分才。”现在将诗文中不同的汉字对应不同的自然数，相同的汉字对应 相同的自然数，并且不同汉字所对应的自然数可以排列成一串连续的自然数。如果这 自然数的平均值是 23,问“分”字对应的自然数的最大可能值是多少？
14. 一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成 m等份，用黑色刻度线将它分成 n等份（m>n ）。 （1 ）设X是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明： （2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到 小棍恰有100根。试确定 m和n的值。
X + 1是m和n的公约数； 170根长短不等的小棍，其中最长的
第十二届全国 华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小学组）
（时间 2007年4月 21 日 10 : 00?11 : 30）
（市）、区 ______ 学校 _________________ 姓名 __________ 考号 _________ 一、填空（每题10分，共80分） 1、 华”、杯”、赛”三个字的四角号码分别是 2440”、4199”和3088”，将 华杯赛”的编码取为244041993088'。如果这个编码从左起的奇数位的数码不
变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么 华杯赛”新 的编码是 ___________ 。
1
23
2、 计算：[20.75 + （3.74 — 2 2）9 25 ]41.75 = __________ 。
3、 如图1所示，两个正方形ABC和DEF的边长都是整数厘米。点E在线段CD 上,且CE< D吕线段CF= 5厘米，则五边形ABCF的面积等于 _________ 方厘米。
10厘
131 米
21
, — ■ ■ ■ ■
4、 将250、40、0.523、0.523、0.52从小到大排列，第三个数是 ________ 。
5、 图2a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底 面直径都是10厘米，水瓶高度是26厘米，瓶中液面的高度为12厘米。将水瓶倒置 后，如图2b，瓶中液面的高度是16厘米，则水瓶的容积等于 ________ 方厘米。 （取二=3.14，水瓶壁厚不计）
&一列数是按以下条件确定的：第一个是 3,第二个是6,第三个是18，以 后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于 _______________ 从这列数的第
________ 数开始，每个都大于2007。
7、一个自然数，它的最大的约数和次大的约数的和是
111,这个自然数是
O
8、用一些棱长是1的小正方体码成一个立体，从上向下看这个立体，如图3, 从正面看这个立体，如图4，则这个立体的表面积最多是 ____________ 。
二、简答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9、如图 5,在三角形 ABC中，点 D在BCt,且/ ABG=/ ACB / ADC^Z DAQ / DAB= 21°，求Z ABC勺度数；并且回答：图中哪些三角形是锐角三角形。 10、李云靠窗坐在一列时速60千米的火车里，看到一辆有30节车厢的货车迎 面驶来，当货车车头经过窗口时，他开始记时，直到最后一节车厢驶过窗口时， 所记的时间是18秒。已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2米，货车车头长10米 问货车行驶的速度是多少？
11、图6是一个99的方格图，由粗线隔为9个横竖各有3个格子的 小九宫”格, 其中，有一些小方格填有1至9的数字。小青在第4列的空格中各填入了一个1至9 的自然数，使每行、每列和每个 小九宫”格内的数字都不重复，然后小青将第 4 列的数字从上向下写成一个9位数。请写出这个9位数，并且简单说明理由。
12、某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分,没有得优 的同学的平均分数是80分。已知全班同学的平均成绩不少于90分，问得优的同学 占全班同学的比例至少是多少？
、详答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
个正六边形的各顶点。问图中共有多少个等腰三角形（包
括等边三角
14、圆周上放置有7个空杯子，按顺时针方向依次编号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7。小明首先将第1枚白色棋子放入1号盒子，然后将第2枚白色棋子放入3号盒子， 再将第3枚白色棋子放入6号盒子，，，， 放置了第k—1枚白色棋子后，小明依顺 时针方向向前数了 k—1个盒子，并将第k枚白色棋子放在下一个盒子中，小明按 照这个规则共放置了 200枚白色棋子。随后，小青从1号盒子开始，按照逆时针方 向和同样的规则在这些盒子中放入了 300枚红色棋子。请回答：每个盒子各有多 少枚白色棋子？每个盒子各有多少枚棋子？
答案
、填空
1.解：偶数位自左至右依次为
4、0、1、9、0、8,它们关于9的补码自左至右依次为
254948903981
5、9、
8、0、 9、1,所以“华杯赛”新的编码是：
25
2.解: 原式=[20.75 + 1.24 X 1 ::; ] -41.75 = [20.75 + 0.125] -41.75 = 20.875 -41.75 = 0.5
3. 解: CF= 5，又CD和DF都是整数，根据勾股定理可知 CE= 3, DF= 4, CD= 7,
42 +73 +1x4x3
所以五边形 ABCFG勺面积为：
j 米）
= 16 + 49+ 6 = 71 （平方厘
131 21
0^2<0523<0523<—<—
.
■ ■ ■ ■ 131 21
11
4.解：一.=0.524，胡=0.525，所以： ，第三小的
5.解：如果将瓶中的液体取出一部分，使正立时高度为 积，即瓶的容积是：
11厘米，则倒立时高度为 15厘米,
22厘米(底面积不变)
这时瓶中的液体刚好为瓶的容积的一半， 的圆柱的体所以瓶的容积相当于一个高
10>
3.14 X
X 22= 1727 （立方厘米）
6，第三个是18,第四个是(3 + 6+ 18)X 2= 54,
6. 解：这列数的第一个是 3,第二个是
第五个是(3 + 6+ 18+ 54)X 2= 162，第六个是(3+ 6 + 18+ 54 + 162)X 2= 486
设这列数的第一个为 a,则第二个为2a,第三个为6a= 2X3Xa,第四个为18a = 2X「Xa, 第五个为54a =第六个为162a= 2X二X a,第n个为2X1 ' X a,因为a= 3,所以第n 个数也可写作2X「「，即从第三个数起，每个数是前一个数的 2007- 3V 9,可知从第8个数起，每个数都大于
2007.
3倍。2007-486> 3,而
7.
解：因为111是奇数，而奇数=奇数+偶数， 所以所求数的
最大约数与次大约数必为一奇 一偶。而一个数的最大约数是其自身， 数此数必为偶数，
而一个偶数的次
而一个数如有偶约
大约数应为这个偶数的 ［，设这个次大约数为 a,则最大约数为2a, a+ 2a= 111，求得a =37, 2a= 74,即所求数为 74.
8. 解：根据所给视图，可画出这个立体的直观图如下：
可知，上下面积为 8X 2= 16 （平方厘米），前后面积为 8X 2= 16 （平方厘米），左右面积 为8X 2= 16 （平方厘米），此立体的表面积共 二、简答下列各题
48平方厘米.
9.
DAC=Z ADC=Z B+
??? 3X/ B+ 21°= 180° , ???/ B= 46°
/ DAC= 46°+ 21°= 67°,/ BAC= 67°+ 21°= 88° ? △ ABC和△ ADC都是锐角三角形.
解：I/ DACFZ ADCFZ C=，而/ 21,/ B=Z C,
10.解：客车速度为 60千米/小时，18秒钟通过的路程为： 货车长为（15.8 + 1.2 ）X 30+ 10 = 520 （米） 18秒钟货车通过的距离为 520- 300= 220 （米）
千二
=300 （米）
220x3600
货车速度为二二 二 =44 （千米/小时）
11. 解:
7 5 3 1 6 1 2 9 7 4 7 5 9 1 8 4 2 g 6 3 5 3 8 1 6 g 7 2 9 S 7 5 3 4
4 1 3 9 8 用（a, b）表示第a行第b列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5,第6行已有数字6、 7、9，所以方格（6, 4）= 8;第3行和第5行都有数字9,所以（7, 4）= 9;正中的“小 九宫”中已有数字 7,所以只能是（3, 4）= 7;此时，第4列中只余（5, 4）,这一列只 有数字6未填，所以（5, 4） = 6。所以，第4列的数字从上向下写成的
9位数是：327468951.
12. 解：为使全班同学的平均分达到 90分，需将2名得优的同学和1名没得优的同学匹配为 一组，即得优的同学至少应为没得优同学的
2倍，才能确保全班同学的平均分不低于
90分,
2
所以得优同学占全班同学的比例至少是
：.
三、详答下列各题 13. 解：
b
首先按是否是等边三角形分类，图
c d
6个，蓝
a、图b、图c中有3类等边三角形，红色的有
色的有6个，黄色的有2个，共14个等边三角形。图d中有3类非等边的等腰三角形，绿 色的有6个，紫色的有6个，棕色的有12个，共24个。所以共有等腰三角形（包括等边三 角形）为38个. 14. 解：依顺时针方向不间断地给这 7个盒子编号，则1号盒子可有的号数为 1、8、15、,7k+1 ; 2号盒子可有的号数为 2、9、16、，7k+2 ; , ; 7号盒子可有的号数为 7、14、21、，7k+7 （k为整数）。
根据规则，小明将第1枚棋子放入1号盒子，将第2枚棋子放入3号盒子，将第3枚棋子放 入6号盒
子，将第4枚棋子放入10号即3号盒子，将第5枚棋子放入15号即1号盒子，将 第6枚棋子放入21号即7号盒子，将第7枚棋子放入28号即7号盒子，按照这个规律，从 第8枚棋子开始，将重复上述棋子放入的盒子，
即第8枚放入1号盒子，第9枚放入3号盒
子，，，也就是每 7枚棋子为一个周期。 并且这7枚棋子有2枚放入1号盒子，有2枚放入 3号盒子，有2枚放入7号盒子，有1枚放入6号盒子，2、4、5号盒子未放入棋子。各盒 子中的白子数目如下表。
200= 7X 28+ 4,经过28次循环后，第197枚棋子放入1号盒子，第198枚棋子放入3号盒 子，第199枚棋子放入6号盒子，第200枚棋子放入3号盒子。 在小青逆时针放子时，我们依逆时针方向给盒子不间断编号， 300= 7X 42+ 6,可以求出各盒子中的红子数目如下表。 盒子编号 白子 红子 棋子总数 3 58 43 101 4 0 0 0 5 0 0 0 7 56 0 56 同样地每7枚棋子为一个周期,
1 57 86 143 2 0 85 85 6 29 86 115
第十三届“华罗庚金杯”少年组数学邀请赛决赛试卷（小学组）
姓名 __________ 成绩 _______
一 ?填空（每题体10分，共80分）
1.计算：
6 4014 9 4014 一
1 2 -
1
3 4014 3 4014 -- 1
2.林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了 ，然后加入豆浆，将杯子斟满并搅拌均匀,
第二次，林林又喝了 1，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那
3
0
么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的 ________ （用分数表示）。 3. __________________________________ 图1是小明用一些半径为1厘米，2厘米，4厘米， 和8厘米的圆，半圆，圆弧和一个正方形组成的一个 鼠头图案，图中阴影部分的总面积为 ____________________________________ 平方厘米。
4. 悉尼与北京的时差是3小时，例如：悉尼时间12: 00时，北京时间是9:00。 某日，当悉尼时间9: 15时，小马和小杨分别乘机从悉尼和北京同时出发去对方 所在地，小马于北京时间19: 33分到达北京。小马和小杨路途上所用时间之比 为7: 6,那么小杨到达悉尼时，当地时间是 _________ 5. __________________________________ 将六个自然数14, 20, 33, 117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个 数都互质，则至少需要将这些数分成 _______________________________________ 组。 6. 对于大于零的分数，有如下4个结论：
① 两个真分数的和是真分数； ② 两个真分数的积是真分数；
③ 一个真分数与一个假分数的和是一个假分数； ④ 一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。 其中正确结论的编号是 ______ 。
7. 记A=1 + 3 + 7 + 15+, +1023,那么比A小的最大自然数是
2 4 8 16 1024
。
8. 黑板上写着1至2008共2008个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，
再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最 小值的差是 _______________ 。
?解下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9.小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少， 请你回答这 个问题。
职位 会计与出纳 出纳与秘书 秘书与主管 主管与主任 主任与会计 月薪和 3000 元 3200 元 4000 元 5200 元 4400 元 10.
四个4用四则运算符号、括号组成五个算式，使它们的结果分别等于 6， 7， 8， 9。
请将5,
11. 图2中，ABC床口 CGE是两个正方形，AG和CF相 交与H,已知CH等于CF的三分之一，三角形CHG勺 面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF勺面积。
12. 设六位数abcdef满足fabcde-f abcdef，请写出所有的这样的六位数
三?解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 甲乙两人沿一个周长400米的环形跑道匀速前进，甲行走一圈需 4分钟，乙 行走一圈需7分钟，他们同时同地同向出发，甲走完 10圈后，改为反向行走， 出发后，每一次甲追上乙或和乙迎面相遇时，二人都击掌示意。问：当二人第 15次击掌时，甲共走了多长时间？乙走了多少路程？
14. 右图是一个北一奥运会 分数等式：等式中的汉字代表数字 1，2，3,
京-梦想成真
4，5，6，7，8和9,不同的汉字代表不同的的数字。如果
“北”和“京”分别代表1和9.请写出“奥运会”所代表 的所有的三位整数，并说明理由
一、填空 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 LO o o CXI 6 co 6 CO O CXI s T~ 00 LO 9 CM w1^0062
L 9?m
6寸—0
L
L LLdP<99 FE寸F 99CXI0LLLLLLLR
----\
-t—
CXI,L111 9C806
C9
A 寸9寸 L $ 二/卜乂
H
般 2 ?盘0
6第十四届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 A （小学组）
（时间：2009 年 4 月 11 日 10:00~11:30）
填空题（每小题10分，共80 分）
2008 2007 2009
2009 2008 2010 2009 2010 -1
1 .计算：
2008 2009 -1
2?如图1所示，在边长为1的小正方形组成的4 4方格图中， 有25个格点，在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分 别是1和3的直角三角形个。 共有
3 .将七位数“ 1357924”重复写 287次组成一个
“ 13579241357924 ”删去这个数中所有位于奇数位
成一个新数，再删去新数中所有位于奇数位上的数字， 按上述方法一直删下去直 到剩下一个数字为止，则最后剩下的数字是 _______________ 。 |
A \\E B
4. _____________________ 如图2所示，在由七个同样的小正方形组成的图形中，直线 I 将原图形分为面积相等的两部分，I与AB的交点为E,与CD的交 点为F，若线段CF与线段AE的长度之和为91厘米，那么小 C 正方形
F 的边长是 _________________ 米。
2009位数
（从左往右数）上的数字组 图1
图2
5. ______________________________________________ 某班学生要栽一批树苗，
若每个人分配 k棵树苗，则剩下38棵；若每个学生 分配9棵树苗，则还差3棵，那么这个班共有 ________________________________________ 学生。 6.
两两互质，且A B C =11011 最大值为 ---------- 。
已知三个合数A，B，C
28，那么ABC的
36 50
7.方格中的图形符号“?” ， “O”，“▽”，“☆”代表填入方格
内的数，相同的符号表示相同的数。如图 3所示，若第一列，第 三列，第二行，第四行的四个数的和分别为 36, 50，41, 37,则 第三行的四个数的和是 _______________ 。
? O ▽ ☆ O O O ☆ 41 ? ? ? O ☆ 37 ? ? ▽ ? 8.已知1+ 2 + 3+ ,, + n（n> 2）的和的个位数为3,十位数为0,则n的最小值 为 。
二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）
9. 六个分数1 , , , , 1 , 1的和在哪两个连续自然数之间?
2 3 5 7 11 13
10. 2009年的元旦是星期四，问：在 2009年，哪几个月的第一天也是星期四? 哪几个月有5个星期日？
11. 已知a, b, c是三个自然数，且a与b的最小公倍数是60, a与c的最小公 倍数是270。求b与c的最小公倍数。
12. 在51个连续的奇数1, 3, 5, , , 101中选取k个数，使得他们的和为1949, 那么k的最大值是多少？
三、解答下列各题（每小题15分，共30 分,要求写出详细解答过程）
13. 如图4所示，在梯形ABCD中，AB// CD，对角线AC, BC相交于点0。已 知AB=5, CD=3,且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积。
图4
14. 在图5所示的乘法算式中，汉字代表1至9这9个数字，不同汉字代表不同 的数字。若“祝”字和“贺”字分别代表数字“ 4”和“ 8”，求出“华杯赛”所 代表的整数。
祝贺华杯赛二第十四届
图5
第11～14届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题
