精编【创新管理】清华自主招生数学创新试题汇编

【创新管理】清华自主招生

数学创新试题汇编

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清华自主招生数学创新试题汇编 1、（Ⅰ）已知函数：求函数的最小值;

（Ⅱ）证明:；

（Ⅲ）定理:若均为正数,则有成立 (其中．请你构造一个函数，证明：

当均为正数时，． 解：（Ⅰ）令得…2分

当时， 故在上递减．

当故在上递增．所以，当时，的最小值为.….4分 （Ⅱ）由，有 即

故 ．………………………………………5分 （Ⅲ）证明:要证：

只要证： 设…………………7分 则

令得…………………………………………………….8分

当时，

故上递减，类似地可证递增 所以的最小值为………………10分 而 = ==

由定理知: 故 故

即:.…………………………..14分

2、用类比推理的方法填表 等差数列中 等比数列中 答案：

3、10．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：

（i）1*1=1，（ii）（n+1）*1=n*1+1，则n*1等于

A．n B．n+1 C．n -1 D． 答案：D

4、若为的各位数字之和，如：，，则;记____ 答案：5

5、下面的一组图形为某一四棱锥S-ABCD的侧面与底面。

（1）请画出四棱锥S-ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由；

（2）若SA面ABCD，E为AB中点，求二面角E-SC-D的大小； （3）求点D到面SEC的距离。

（1）存在一条侧棱垂直于底面（如图）………………3分

证明：且AB、AD是面ABCD内的交线SA底面ABCD……………………5分

a

a

a a a 2a（2）分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA， 则GF//EA,GF=EA, AF//EG 而由SA面ABCD得SACD， 又ADCD， CD面SAD， 又SA=AD,F是中点， 面SCD,EG面SCD,面SCD

所以二面角E-SC-D的大小为90…………10分

(3)作DHSC于H，

面SEC面SCD, DH面SEC,

DH之长即为点D到面SEC的距离，12分 在RtSCD中，

答：点D到面SEC的距离为………………………14分

6、一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列，结果表明：①从A口输入时，从B口得；②当时，从A口输入，从B口得到的结果是将前一结果先乘以自然数列中的第个奇数，再除以自然数列中的第个奇数。试问：

（1） 从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？ （2） 从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。 解（1）

（2）先用累乖法得