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企业的生产扩张路径反映了生产每一不同产量水平的最低长期总成本。在技术水平和投入要素价格不变的前提下，由投入总成本变化而引起的最优要素投入比例的变动轨迹，称为生产扩张路径。
如果劳动力成本下降而资本价格不变，那么等成本线将以它与资本轴的交点为轴心向外移动。因为扩张路径上的点是边际技术替代率等于价格比的点，随着等成本线向外旋转，扩展线将向劳动轴弯曲，即由于劳动相对于资本价格下降，企业将使用更多的劳动。
7．从A地到B地的飞行成本为50000美元，每天有四趟航班，分别在上午7点、10点，下午1点和4点。飞机容量为240个座位，每天第一班和最后一班都是满载的，而第二班和第三班只有一半座位坐满，计算每趟航班的平均成本。如果你是航空公司的咨询顾问，航空公司想知道它应该吸引哪一类顾客，是非高峰期顾客（乘坐中间两趟航班）还是高峰期顾客（乘坐第一趟和最后一趟航班），你的建议是什么？
答：对于第一趟和最后一趟航班而言，平均成本为：50000÷240≈208（美元）； 对于第二趟和第三趟航班而言，平均成本为：50000÷120≈417（美元）；
航空公司应该致力于吸引更多的非高峰期顾客来降低中间两趟航班的平均成本，对于中间两趟航班而言，增加乘客的边际成本为0，即使票价低于平均成本，航空公司也是有利可图的；而高峰时期的平均成本已经最小化，吸引更多的乘客也无助于上座率的增加，因此没有必要吸引高峰期的顾客。
8．你管理一家大规模生产发动机的工厂。生产技术由下列生产函数给出：
式中，q为每周生产出的发动机；K为机器数量；L为劳动生产组的数量。租用一台机器每周为10000美元，每周每个生产组的劳动力成本为5000美元。发动机的成本为劳动和机器成本之和，外加其他原材料成本2000美元。工厂安装了5台机器。
（1）工厂的成本函数是什么——即，生产q台机器需要多少成本？生产q台机器的平均成本和边际成本为多少？平均成本如何随q的变动而变化？
（2）生产250台发动机需投入多少个劳动生产组？每台发动机的平均成本为多少？ （3）如果要你为一新企业的设计提出建议，你的建议是什么？尤其是，新企业的资本/劳动比率（K/L）应为多少，如果低成本是你的惟一标准。
解：（1）K?5，故q?25L，即：
对于既定的产出水平q，需要雇用劳动生产组的数量为：L?q/25。
?q?总成本：TC?rK?wL?2000q?10000?5?5000????2000q?50000?2200q。
?25?平均成本：ATC?TC/q?50000/q?2200。
边际成本：MC?dTC?2200。 dq（2）生产250台机器需要投入生产组的数量L?250/25?10。 每台发动机的平均成本：ATC?50000/250?2200?2400。
（3）不再假设K?5固定不变，而找出在任何产出水平q上K和L的最小成本的组合。最小成本的原则是：
即
5L5KKw50001?????。 rwLr100002所以，新厂的资本—劳动比率应该是1/2。不管生产多少产量，都应维持该比率不变以
实现成本最小化。
9．某公司的短期总成本函数由等式TC?200?55q给出，式中，TC为总成本；q为总产出数量；两者均以千计。
（1）该公司的固定成本是多少？
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（2）如果该公司生产了100000单位的产品，它的平均可变成本是多少？ （3）其所生产的单位产品的边际成本是多少？ （4）其平均固定成本是多少？
（5）假定该公司通过贷款扩大生产规模，其固定成本增加50000美元，但其可变成本降至每1000单位产品45000美元，利率i也进入成本函数。利率每上升1%，成本增加3000美元。写出新的成本函数。
解：（1）根据该公司的短期总成本函数，可以知道该公司的固定成本是200（千美元）。 （2）可变成本VC?55q，所以平均可变成本AVC?55（千美元），即公司生产了10万单位的产品时，平均可变成本是55（千美元）。
（3）其所生产的单位产品的边际成本为：MC?dTC?55?千美元?。 dq（4）平均固定成本AFC?FC/q?200/100?2（千美元）。
（5）固定成本从200增加到250，可变成本从55降低至45。另外，利率成本也构成固定成本的一部分。因而新的成本函数为：C?250?45q?3i。
10．某椅子生产商以30美元/小时的价格为其生产线雇佣劳动力，并假定其机器设备的租金为15美元/小时。假定以劳动和机器设备的任何组合生产每把椅子需4小时，如果该公司每使用1小时机器设备需使用3小时的劳动力，它能使其生产成本最小化吗？如果可以，那么请解释其原因；如果不可以，那么怎样才能改善当前的境况呢？在图上画出等产量线和两条等成本线，其中一条为企业当前劳动和资本组合对应的等成本线，另一条为企业最优劳动和资本组合对应的等成本线。
解：1小时机器设备和3小时劳动力不能使生产成本最小化。
图7-8 生产商的成本最小化分析
如图7-8所示，假设该生产商可以用4小时人力劳动，或4小时机器劳动，或其他劳动资本组合生产一把椅子，那么等产量线是一条直线，其斜率为-1，与两个坐标轴的截距分别是K?4和L?4。
等成本曲线为TC?30L?15K，斜率为-30/15＝-2，与两个坐标轴的截据分别是K?TC/15和L?TC/30。
成本最小化的点是一个角点解，即L?0，K?4。此时，总成本是TC?60（美元）。 所以，该厂商只使用4小时机器，而不使用劳动生产椅子就可以改善当前的境况，使得成本达到最小化。
11．假定企业的生产函数为q?10L1/2K1/2，单位劳动成本为20美元，单位资本成本为80美元。
（1）企业目前的产量为100单位，成本最小化的劳动和资本分别为20和5。在图上用等产量线和等成本线表示出来。
（2）企业想将产量扩大为140单位，如果资本在短期固定，需要多少劳动？在图形上表示出来，并计算企业新的成本。
（3）在图形上表示出企业在长期生产140单位产品的成本最小化劳动和资本投入。 （4）如果边际技术替代率为K/L，计算生产140单位产品的最优劳动和资本投入。
解：（1）目前的产量为100?q?10LK，因此，等产量线方程为：LK?100。当前的总成本为：TC?20?20?80?5?800（美元），因此等成本线方程为：800?20L?80K。如图7-9所示，等产量线与等成本线相切于点A。
图7-9 成本最小化
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（2）如果企业产量扩大为140，而资本投入在短期内固定为5，则有：
解得劳动投入为：L?39.2。此时的劳动与资本投入组合如图7-5中的C点所示。新的总成本为：TC?20?39.2?80?5?1184（美元）。
（3）企业在长期生产140单位产品的成本最小化的资本投入组合为图7-5中的B点。
（4）由边际技术替代率等于要素投入价格之比可得：
12K201??K?L。 L804代入等产量线可得：140?10L?L??L?28，K?7。
?4?此时的总成本为：TC?20?28?80?7?1120（美元）。
12．某计算机公司的成本函数将其生产的平均成本（AC）与累积的计算机产量（Q）和在10000～50000台计算机范围内以每年所制造的计算机台数表示的工厂规模（q）联系在一起，其关系由下面式子给出：
（1）是否存在学习曲线效应？
（2）是否存在规模经济或规模不经济？
（3）从公司创立以来，共生产了40000台计算机，且今年生产了10000台。下一年度，公司打算将其生产扩大到12000台。公司的平均生产成本会上升还是下降？请解释。
解：（1）存在学习曲线效应。
学习曲线描述了累积产出和平均生产成本之间的关系。如果平均成本随着累积产出的增加而下降的话，则存在学习曲线效应。所以，从平均成本函数AC?10?0.1Q?0.3q可以看出，随着累积产出Q的增加，平均成本AC下降，因此，存在学习曲线效应。
（2）存在规模不经济。
规模不经济是指当产量变为原来的两倍时所需要的成本大于原来的两倍。由平均成本函数AC?10?0.1Q?0.3q可得：
如果该弹性大于1，则存在规模不经济，反之则存在规模经济。
其中：总成本TC?q?AC?10q?0.1Qq?0.3q2，则边际成本为：MC?10?0.1Q?0.6q。 可见MC?AC，即EC?1，由此可知，存在规模不经济。
（3）公司的平均生产成本会下降。
公司今年的平均生产成本为：AC1?10?0.1Q?0.3q?10?0.1?40?0.3?10?9； 公司明年的平均生产成本为：AC2?10?0.1?50?0.3?12?8.6。 由于学习效应的存在，公司在增加产量的情况下降低了平均生产成本。
13．假定某行业的长期总成本函数为三次方程：TC?a?bq?cq2?dq3。证明（用微积分）总成本函数至少在取a、b、c、d四个参数值时与U形平均成本曲线相一致。
证明：包含立方的成本方程意味着其对应的平均成本曲线是U形的，可以运用代数、微积分以及经济推理的方法来分析方程中的参数值。具体分析如下：
首先，如果总产量为零，可知TC?a，此处a表示固定成本。短期内，固定成本是正的，即a?0，但在长期内，所有的生产要素都是可变的，即a?0。所以，假定a?0。
其次，因为平均成本是正的，由成本方程可以求出平均成本：AC?b?cq?dq2。 对应的成本曲线有两种基本形式：U形或者倒U形。以U形为例，即假定曲线有最小值，而不是倒U形所具有的最大值。
在最小值的左侧，曲线是负斜率的（向下倾斜），在其右侧，斜率为正（向上倾斜）。在
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最小值点，曲线的斜率为零，即在该点平均成本关于q的一阶导数为零。对于U形的AC曲线而言，其二阶导数一定是正的。
d2ACdAC平均成本关于q的一阶导数：?2d。 ?c?2dq，二阶导数：
dq2dq如果二阶导数为正，则一定有d?0，一阶导数为零，可推知c??2dq。 因为d和q都是正的，所以c?0。
当c?2dq?0时，平均成本达到最小值，而且最小值是大于零的。
所以q??c?0，将其代入下面方程： 2dc2即b?，因为c2和d都是大于零的，所以b一定大于零。
4d总之，对于长期的U形平均成本曲线而言，a必须等于0，b和d必须大于0，c必须是负的，而且4db?c2。然而这些条件还不足以保证边际成本是正的。
为了保证边际成本是U形而且最小值为正，运用同样的分析方法，例如在最小的边际成本?c/3d处解出q，代入边际成本函数b?2cq?3dq2，可以推出c2一定会小于3bd，这个条件同样满足4db?c2。 例如，假定a?0，b?1，c??1，d?1。
总成本：TC?q?q2?q3。平均成本：AC?1?q?q2。边际成本：MC?1?2q?3q2。 当q?1/2时，达到最小平均成本；当q?1/3时，达到最小边际成本。
图7-10 平均成本与边际成本曲线 14．某计算机公司以同样的设备和劳动生产硬件和软件。生产计算机处理器H和软件S的总成本由下式给出：
式中，a、b和c均为正数。该总成本函数是否存在范围经济或范围不经济？是否存在规模经济或规模不经济？
解：（1）存在范围经济。
由于cHS和TC都是正的，所以SC?0，即存在范围经济。
（2）不存在规模经济或规模不经济。
规模经济是针对一种产品而言的，因此对于软件S而言，总成本为TC?bS，成本—产出弹性为EC?MCMC?1；硬件的总成本为：TC?aH成本—产出弹性也为EC??1，因此ACAC可知，不存在规模不经济或规模经济。
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