小学数学奥数基础教程（四年级）目30讲全

由天下分享时间：2024/5/21 16:55:03 加入收藏我要投稿点赞

小学奥数基础教程（四年级）

＝30（本）。根据题目条件，原来各 2.某数加上6，乘以6，减去6，组的图书为

其结果等于36，求这个数。

甲组有30＋3＝33（本）， 3.在125×□÷3×8—1=1999中，乙组有30—3＋5＝32（本）， □内应填入什么数？

丙组有30—5＝25（本）。

4.小乐爷爷今年的年龄数减去15 后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少

岁？

5.粮库内有一批面粉，第一次运店时，我还有4元钱。问：进A商店出总数的一半多3吨，第二次运出剩时我身上有多少钱？

下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮

库里原有面粉多少吨？

6.有一筐梨，甲取一半又一个，

乙取余下的一半又一个，丙再取余下的一半又一个，这时筐里只剩下一个梨。这筐梨共值8.80元，那么每个梨值多少钱？

桔子。问：树上原来有桔子多少

个？

8.某人去银行取款，第1次取了

存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩 =18（元）

125元。问：此人原有存款多少元？答：进A商店时我身上有18元。第23讲还原问题（二）

例6一捆电线，第一次用去全长的一上一讲我们讲了还原问题的基本半多3米，第二次用去余下的一半少思想和解法，下面再讲一些较复杂的10米，第三次用去15米，最后还剩7还原问题和列表逆推法。

米，这捆电线原有多少米？例1有一堆棋子，把它四等分后剩下分析：由逆推法知，第二次用完一枚，取走三份又一枚；剩下的再四还剩下15＋7=22（米），第一次用完等分又剩一枚，再取走三份又一枚；还剩下（22—10）×2＝24（米），原剩下的再四等分又剩一枚。问：原来来电线长（24＋3）×2＝54（米）。至少有多少枚棋子？

解：［（15＋7—10）×2＋3］×2＝分析与解：棋子最少的情况是最后一54（米）。

次四等分时每份为1枚。由此逆推，答：这捆电线原有54米。得到

练习22

第三次分之前有1×4＋1＝5 1.某数加上11，减去12，乘以13，（枚），

除以14，其结果等于26，这个数是多第二次分之前有5×1＋1＝21少？

（枚），

- 26 -

第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。

所以原来至少有85枚棋子。例2袋里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，这样共操作了5次，袋中还有3个球。问：袋中原有多少个球？

分析与解：利用逆推法从第5次操作后向前逆推。第5次操作后有3个，第4次操作后有（3—1）×2＝4（个），第3次??为了简洁清楚，可以列表逆推如下：

所以原来袋中有34个球。

例3三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？

分析与解：由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表：

原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。

逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。例4有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再

将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？

分析与解：与例3类似，列表逆推如下：

原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克。

逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法。

例5兄弟三人分24个桔子，每人所得个数分别等于他们三年前各自的岁数。如果老三先把所得的桔子的一半平分给老大与老二，接着老二把现有的桔子的一半平分给老三与老大，最后老大把现有的桔子的一半平分给老二与老三，这时每人的桔子数恰好相同。问：兄弟三人的年龄各多少岁？分析与解：由于总共有24个桔子，最后三人所得到的桔子数相等，因此每人最后都有24÷3＝8（个）桔子。由此列表逆推如下表：

由上表看出，老大、老二、老三原来分别有桔子13，7，4个，现在的年龄依次为16，10，7岁。逆推时注意，拿出桔子的人其桔子数减少了一半，逆推时应乘以2；另两人各增加拿出桔子的人拿出桔子数的一半，逆推时应减去拿出桔子数的一半。

小学奥数基础教程（四年级）

- 27 -

练习23

编一本书的页码，一共需要多少 1.有一堆桃，第一只猴拿走其中个数码呢？反过来，知道编一本书的的一半加半个，第二只猴又拿走剩下页码所需的数码数量，求这本书的页的一半加半个，第三、四、五只猴照数。这是页码问题中的两个基本内容。此方式办理，最后还剩下一个桃。问：为了顺利地解答页码问题，我们原来有多少个桃？

先看一下“数”与“组成它的数码个

数”之间的关系。一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两

位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180（个）数码；三位数共问：这堆西瓜原来有多少个？有900个，组成所有的三位数需要3 3.甲、乙两粮库各有大米若干吨，×900＝2700（个）数码??为了清楚先是甲库运出一半给乙库，然后乙库

起见，我们将n位数的个数、组成所

有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间

的关系列表如下：

525吨，乙库有大米775吨。问：由上表看出，如果一本书不足100最初甲、乙两库各有大米多少吨？页，那么排这本书的页码所需的数码 4.书架有上、中、下三层，一共个数不会超过189个；如果某本书排放了192本书。先从上层取出与中层的页码用了10000个数码，因为同样多的书放到中层，再从中层取出 2889＜10000＜38889，所以这本与下层同样多的书放到下层，最后从书肯定是上千页。

下层取出与上层现有的同样多的书放下面，我们看几道例题。到上层，这时三层的书刚好相等。问：例1一本书共204页，需多少个数码这个书架上、中、下三层原来各有多编页码？

少本书？

分析与解：1～9页每页上的页码是一 5.甲、乙、丙三人各有若干元钱，位数，共需数码甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出 1×9=9（个）；

现有的一半平分给甲、丙，最后丙又 10～99页每页上的页码是两位拿出现有的一半平分给甲、乙。这时数，共需数码

他们各有240元。问：甲、乙、丙三 2×90＝180（个）；

人原来各有多少钱？

100～204页每页上的页码是三位

数，共需数码

（204-100＋1）×3＝105×3＝315

（个）。

综上所述，这本书共需数码

9＋180＋315＝504（个）。例2一本小说的页码，在排版时必须

用2211个数码。问：这本书共有多少页？

水。问：三个桶中原来各有多少升水？分析：因为189＜2211＜2889，所第24讲页码问题

以这本书有几百页。由前面的分析知顾名思义，页码问题与图书的页道，这本书在排三位数的页码时用了码有密切联系。事实上，页码问题就数码（2211-189）个，所以三位数的是根据书的页码而编制出来的一类应页数有

用题。

（2211-189）÷3＝674（页）。

因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有

99＋674＝773（页）。解：99＋（2211——189）÷3＝773（页）。

答：这本书共有773页。例3一本书的页码从1至62、即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次。结果，得到的和数为2000。问：这个被多加了一次的页码是几？分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为 1＋2＋?＋61＋62 ＝62×（62＋1）÷2 ＝31×63 ＝1953。

由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是 2000——1953＝47。

例4有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131。老师说小明计算错了，你知道为什么吗？

分析与解：48页书的所有页码数之和为

1＋2＋?＋48 ＝48×（48＋1）÷2 ＝1176。

按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176——1131＝45。这两个页码应该是22页和23页。但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大。小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的。

例5将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：1234567891011l2?问：左起第2000位上的数字是多少？

分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为（2000-189）÷3＝603??2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703

小学奥数基础教程（四年级）

（页）的第2个数码“0”。所以本题的第2000位数是0。

例6排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？

分析与解：将1～400分为四组： 1～100，101～200，201～300，301～400。

在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0。所以共需要数码“0”

11＋20×3=71（个）。练习24

1.一本书共有40页，那么共需要多少个数码编页码？

2.一本书共有200页，那么共需要多少个数码编页码？

3.排一本小说的页码，需要用2202个数码，这本书共有多少页？ 4.一本书的页码为1至62，即共有62页。在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码漏加了。结果，得到的和数为1939。问：这个被漏加的页码是几？

5.有一本96页的书，中间缺了一张。如果将残书的所有页码相加，那么可能得到偶数吗？

6.将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数： 1234567891011121314? 问：左起第1000位数是几？ 7.有一本科幻故事书，每四页中，有一页为文字，其余三页为图画。如果第一页为图画，那么第二、三页也是图画，第四页为文字，第五、六、七页又为图画，依此类推。如果第一页为文字，那么第二、三、四页为图画，第五页为文字，第六、七、八页又为图画，依此类推。试问：（1）假如这本书有96页，且第一页是图画，那么这本书多少页有图画？

（2）假如这本书有99页，那么多少页有图画？第25讲智取火柴

在数学游戏中有一类取火柴游戏，它有很多种玩法，由于游戏的规则不同，取胜的方法也就不同。但不

- 28 -

论哪种玩法，要想取胜，一定离不开用数学思想去推算。

例1桌子上放着60根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？分析与解：本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根??由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。现在桌上有60根火柴，甲先取，不可能留给乙4的倍数根，而甲每次取完后，乙再取都可以留给甲4的倍数根，所以在双方都采用最佳策略的情况下，乙必胜。

在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根，而不是5的倍数根或其它倍数根呢？关键在于规定每次只能取1～3根，1＋3＝4，在两人紧接着的两次取火柴中，后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点，就能分析出谁采用最佳方法必胜，最佳方法是什么。由此出发，对于例1的各种变化，都能分析出谁能获胜及获胜的方法。

例2在例1中将“每次取走1～3根”改为“每次取走1～6根”，其余不变，情形会怎样？

分析与解：由例1的分析知，只要始终留给对方（1+6=）7的倍数根火柴，就一定获胜。因为60÷7＝8??4，所以只要甲第一次取走4根，剩下56根火柴是7的倍数，以后总留给乙7的倍数根火柴，甲必胜。

由例2看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者获胜的规定下，谁能做到总给对方留下（1+n）的倍数根火柴，谁将获胜。

例3将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”，其余不变，情形又将如何？分析与解：最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析，

只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取，只要第一次取3根，剩下57根（57除以4余1），以后每次都将除以4余1的根数留给乙，甲必胜。

由例3看出，在每次取1～n根火柴，取到最后一根火柴者为负的规定下，谁能做到总给对方留下（1＋n）的倍数加1根火柴，谁将获胜。有许多游戏虽然不是取火柴的形式，但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。

例4两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数，每人每次只能报1～5个数，谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数？怎样才能获胜？

分析与解：对照例1、例2可以看出，本例是取火柴游戏的变形。因为50÷（1＋5）＝8??2，所以要想获胜，应选择先报，第一次报2个数，剩下48个数是（1＋5＝）6的倍数，以后总把6的倍数个数留给对方，必胜。例51111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？分析与解：本例是例3的变形，但应注意，一开始棋子已占一格，棋子的右面只有1111-1＝1110（个）空格。由例3知，只要甲始终留给乙（1+7=）8的倍数加1格，就可获胜。（111-1）÷（1＋7）＝138??6，所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1。以后无论乙移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。因为甲移完后，给乙留下的空格数永远是8的倍数加1。

例6今有两堆火柴，一堆35根，另一堆24根。两人轮流在其中任一堆中拿取，取的根数不限，但不能不取。规定取得最后一根者为赢。问：先取者有何策略能获胜？

分析与解：本题虽然也是取火柴问题，但由于火柴的堆数多于一堆，故本题的获胜策略与前面的例题完全不同。

小学奥数基础教程（四年级）

先取者在35根一堆火柴中取11根火柴，使得取后剩下两堆的火柴数相同。以后无论对手在某一堆取几根火柴，你只须在另一堆也取同样多根火柴。只要对手有火柴可取，你也有火柴可取，也就是说，最后一根火柴总会被你拿到。这样先取者总可获胜。请同学们想一想，如果在上面玩法中，两堆火柴数目一开始就相同，例如两堆都是35根火柴，那么先取者还能获胜吗？

例7有3堆火柴，分别有1根、2根与3根火柴。甲先乙后轮流从任意一堆里取火柴，取的根数不限，规定谁能取到最后一根或最后几根火柴就获胜。如果采用最佳方法，那么谁将获胜？分析与解：根据例6的解法，谁在某次取过火柴之后，恰好留下两堆数目相等的火柴，谁就能取胜。甲先取，共有六种取法：从第1堆里取1根，从第2堆里取1根或2根；第3堆里取1根、2根或3根。无论哪种取法，乙采取正确的取法，都可以留下两堆数目相等的火柴（同学们不妨自己试试），所以乙采用最佳方法一定获胜。练习25

1.桌上有30根火柴，两人轮流从中拿取，规定每人每次可取1～3根，且取最后一根者为赢。问：先取者如何拿才能保证获胜？

2.有1999个球，甲、乙两人轮流取球，每人每次至少取一个，最多取5个，取到最后一个球的人为输。如果甲先取，那么谁将获胜？

3.甲、乙二人轮流报数，甲先乙后，每次每人报1～4个数，谁报到第888个数谁胜。谁将获胜？怎样获胜？ 4.有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，取的枚数不限，但不能不取，谁取到最后一枚棋子谁获胜。如果甲后取，那么他一定能获胜吗？

5.黑板上写着一排相连的自然数1，2，3，?，51。甲、乙两人轮流划掉连续的3个数。规定在谁划过之后另一人再也划不成了，谁就算取胜。问：甲有必胜的策略吗？

- 29 -

6.有三行棋子，分别有1，2，4枚棋子，两人轮流取，每人每次只能在同一行中至少取走1枚棋子，谁取走最后一枚棋子谁胜。问：要想获胜是先取还是后取？第26讲逻辑问题（一）

在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论。这类判断、推理问题，就叫做逻辑推理问题，简称逻辑问题。这类题目与我们学过的数学题目有很大不同，题中往往没有数字和图形，也不用我们学过的数学计算方法，而是根据已知条件，分析推理，得到答案。

本讲介绍利用列表法求解逻辑问题。

例1小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？分析与解：由题目条件可以知道：小李不是教师，小王不是农民，小张不是农民。由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民，于是得到右上表。因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。

例1中采用列表法，使得各种关系更明确。为了讲解清楚，例题中画了几个表，实际解题时，不用画这么多表，只在一个表中先后画出各种关系即可。需要注意的是：①第一步应将题目条件给出的关系画在表上，然后再依次将分析推理出的关系画在表上；②每行每列只能有一个“√”，如果

出现了一个“√”，它所在的行和列的其余格中都应画“×”。

在下面的例题中，“√”和“×”的含义是很明显的，不再单独解释。例2刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。

第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；

第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁？

分析与解：因为兄妹二人不许搭伴，所以题目条件表明：刘刚与小丽、李强与小英、李强与小红都不是兄妹。由第二盘看出，小红不是马辉的妹妹。将这些关系画在左下表中，由左下表可得右下表。

刘刚与小红、马辉与小英、李强与小丽分别是兄妹。

例3甲、乙、丙每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们。此外：（1）数学博士夸跳高冠军跳得高；（2）跳高冠军和大作家常与甲一起去看电影；

（3）短跑健将请小画家画贺年卡；（4）数学博士和小画家很要好；（5）乙向大作家借过书；（6）丙下象棋常赢乙和小画家。你知道甲、乙、丙各有哪两个外号吗？

分析与解：由（2）知，甲不是跳高冠军和大作家；由（5）知，乙不是大作家；由（6）知，丙、乙都不是小画家。由此可得到下表：

小学奥数基础教程（四年级）

因为甲是小画家，所以由（3）（4）知甲不是短跑健将和数学博士，推知甲是歌唱家。因为丙是大作家，所以由（2）知丙不是跳高冠军，推知乙是跳高冠军。因为乙是跳高冠军，所以由（1）知乙不是数学博士。将上面的结论依次填入上表，便得到下表：

所以，甲是小画家和歌唱家，乙是短跑健将和跳高冠军，丙是数学博士和大作家。

例4张明、席辉和李刚在北京、上海和天津工作，他们的职业是工人、农民和教师，已知：（1）张明不在北京

工作，席辉不在上海工作；（2）在北京工作的不是教师；（3）在上海工作的是工人；（4）席辉不是农民。

问：这三人各住哪里？各是什么职业？

分析与解：与前面的例题相比，这道题的关系要复杂一些，要求我们通过推理，弄清人物、工作地点、职业三者之间的关系。三者的关系需要两两构造三个表，即人物与地点，人物与职业，地点与职业三个表。我们先将题目条件中所给出的关系用下面的表来表示，由条件（1）得到表1，由条件（4）得到表2，由条件（2）（3）得到表3。

因为各表中，每行每列只能有一个“√”，所以表（3）可填全为表（4）。

- 30 -

因为席辉不在上海工作，在上海工作的是工人，所以席辉不是工人，他又不是农民，所以席辉是教师。再由表4知，教师住在天津，即席辉住在天津。至此，表1可填全为表5。

对照表5和表4，得到：张明住在上海是工人，席辉住在天津是教师，李刚住在北京是农民。练习26

1.甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不懂日语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？

2.徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。

（1）电工只和车工下棋；（2）王、陈两位师傅经常与木工下棋；

（3）徐师傅与电工下棋互有胜负；（4）陈师傅比钳工下得好。问：徐、王、陈、赵四位师傅各从事什么工种？

3.李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。现知道：（1）顾锋最年轻；

（2）李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；

（3）体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；

（4）顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；