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第1讲 函数与方程思想、数形结合思想
高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几何等知识进行考查；数形结合思想一般在选择题、填空题中考查．
1．函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法．
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法．
2．函数与方程的思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论．
3．数形结合是一种数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．
4．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.
热点一 函数与方程思想的应用
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[应用1] 不等式问题中的函数(方程)法
【例1－1】 (1)f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1，1]，总有f(x)≥0成立，则a＝________． (2)设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是________． 解析 (1)若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 当x＞0即x∈(0，1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为
a≥2－3. xx313（1－2x）
设g(x)＝2－3，则g′(x)＝， 4
31
xxx?1??1?
所以g(x)在区间?0，?上单调递增，在区间?，1?上单调递减，
?2??2??1?
因此g(x)max＝g??＝4，从而a≥4.
?2?
3131
当x＜0即x∈[－1，0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤2－3，设g(x)＝2－3，
xxxx则g(x)在区间[－1，0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4. 综上a＝4.
(2)设F(x)＝f(x)g(x)，由于f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得F(－x)＝f(－
x)·g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)在R上为奇函数．
又当x＜0时，F′(x)＝f′(x)·g(x)＋f(x)g′(x)＞0， 所以x＜0时，F(x)为增函数．
因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以x＞0时，
F(x)也是增函数．
因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3)， 所以，可作y＝F(x)的示意图如图所示， 由图可知F(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0，3)． 答案 (1)4 (2)(－∞，－3)∪(0，3)
探究提高 (1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解．
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[应用2] 数列问题的函数(方程)法
【例1－2】 已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列．
(1)求p的值及数列{an}的通项公式；
n24
(2)设数列{bn}满足bn＝，证明：bn≤.
an9
(1)解 由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n， 得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p. 因为a1，a2＋6，a3成等差数列， 所以a1＋a3＝2(a2＋6)，
即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2. 依题意知，an＋1＝an＋2×3n. 当n≥2时，a2－a1＝2×31，
a3－a2＝2×32，…， an－an－1＝2×3n－1.
将以上式子相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)， 3×（1－3n－1）n所以an－a1＝2×＝3－3，
1－3所以an＝3n(n≥2)．又a1＝3符合上式，故an＝3n. (2)证明 因为an＝3n，所以bn＝n.
3
（n＋1）2n2－2n2＋2n＋1
所以bn＋1－bn＝－n＝(n∈N*)．
3n＋133n＋11＋3
若－2n＋2n＋1＜0，则n＞，
2
2
n2
即当n≥2时，有bn＋1＜bn， 144
又因为b1＝，b2＝，故bn≤.
399
探究提高 数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：
(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解．
?an－1≤an，?an－1≥an，
(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组?求?
?an≥an＋1，?an≤an＋1
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(浙江专用)201X高考数学二轮复习 专题七 数学思想方法(选用)第1讲 函数与方程思想、数形结合思
