首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
一、（15分）求经过三平行直线L1:x?y?z，L2:x?1?y?z?1，L3:x?y?1?z?1的圆柱面的方程. 二、（20分）设Cn?n是n?n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，
?0??1F??0???0?00100?an??0?an?1?0?an?2?.
??1?a1???a11a12?aa22（1）假设A??21???a?n1an2a1n??a2n?，若AF?FA，证明：A?an1Fn?1?an?11Fn?2???ann???a21F?a11E；
（2）求Cn?n的子空间C(F)??X?Cn?n|FX?XF?的维数.
三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n?0），f,g是V上的线性变换.如果fg?gf?f，证明：f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.
四、（10分）设?fn(x)?是定义在?a,b?上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在?a,b?上满足（2）设f(x)?limfn(x)，问f(x)是否一定在?a,b?上处fn'(x)?M.（1）证明?fn(x)?在?a,b?上一致收敛；
n??处可导,为什么？ 五、（10分）设an???20?1sinnttdt， 证明?发散. sintn?1an3?2f?2f（15分） f(x,y)是(x,y)|x?y?1上二次连续可微函数，满足2?2?x2y2，计算积分 六、
?x?y?22??x?fy?f??dxdy. I???22??22?x22?y?x?y?1?x?y?x?y?（15分））假设函数 f(x)在 [0,1]上连续，在(0,1)内二阶可导，过点 A(0,f(0))，与点 B(1,f(1))七、
的直线与曲线 y?f(x)相交于点 C(c,f(c))，其中 0?c?1. 证明：在 (0,1)内至少存在一点 ?，使
f??(?)?0。
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首届全国大学生数学竞赛决赛试卷 （数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 150 分钟 满分： 100 分.
一、填空题（共8分，每空2分.） (1) 设????0，则
?0??e??x2?e??xdx=_____________. 2x2(2) 若关于x的方程kx?1?1(k?0)在区间(0,??)内有惟一实数解，则常数k?_____________. 2xxa(3) 设函数f(x)在区间[a,b]上连续.由积分中值公式有?f(t)dt?(x?a)f(?) (a???x?b).若导数f??(a)存在且非零，则lim?x?a??ax?a的值等于_____________.
(4) 设(a?b)c?6，则(a?b)?(b?c)(a?c)=_____________.
?k?f?(0)limf二、. f(x)(?1,1)f(0)?0x?0（10分）设在内有定义，在处可导，且. 证明: n????2??n2??k?1n??三、（12分） 设f(x)在[0,?)上一致连续，且对于固定的x?[0,?)。当自然数n??时f(x?n)?0。证明: 函数序列{f(x?n)：n?1,2,}在[0,1]上一致收敛于0.
四、（12分） 设D?{(x,y):x2?y2?1}，f(x,y)在D内连续，g(x,y)在D内连续有界，且满足条件： (1) 当x2?y2?1时，f(x,y)???；
2?2f?2f?2gf?gg??e??e(2) 在D中f与g有二阶偏导数， ,。 2222?x?y?x?y 证明： f(x,y)?g(x,y) 在D内处处成立.
五、（10分）设 R?{(x,y):0?x?1;0?y?1}， R??{(x,y):0?x?1??;0?y?1??}. 考虑积分I???dxdydxdyI?， ???R，定义I?limI?。 R1?xy??0?1?xy?（1） 证明I??12； nn?1?1?u?(x?y)??2（2）利用变量替换：??v?1(y?x)??2计算积分I 的值，并由此推出
?26??12. n?1n?2 / 29
（13分） 已知两直线的方程：L:x?y?z，L?:六、
与L?是异面直线？
xyz?b.（1）问：参数a,b满足什么条件时，L??1a1（2）当L与L?不重合时，求L?绕L旋转所生成的旋转面?的方程，并指出曲面?的类型.
七、(20分) 设A,B均为n阶半正定实对称矩阵，且满足n?1?rankA?n . 证明: 存在实可逆矩阵C使得CTAC和CTBC均为对角阵. 八、(15分) 设V是复数域
上的n维线性空间，fj:V?(j?1,2) 是非零的线性函数。 且线性无关.
证明: 任意的??V都可表为???1??2。使得 f1(?)?f1(?2)，f2(?)?f2(?1).
参考答案（精简版）
首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷解答 （数学类，2009）
一、（15分）求经过三平行直线L1:x?y?z，L2:x?1?y?z?1，L3:x?y?1?z?1的圆柱面的方程.
解： 先求圆柱面的轴L0的方程. 由已知条件易知，圆柱面母线的方向是n?(1,1,1)， 且圆柱面经过点O(0,0,0)， 过点O(0,0,0)且垂直于n?(1,1,1)的平面?的方程为：
x?y?z?0. ……………………………（3分)
?与三已知直线的交点分别为O(0,0,0),P(1,0,?1),Q(0,?1,1)………… （5分) 圆柱面的轴L0是到这三点等距离的点的轨迹， 即
222222??x?y?z?(x?1)?y?(z?1)， ?222222x?y?z?x?(y?1)?(z?1)???x?z?1即 ?，……………………………………………（9分)
?y?z??1将L0的方程改为标准方程
x?1?y?1?z.
圆柱面的半径即为平行直线x?y?z和x?1?y?1?z之间的距离. P0(1,?1,0)
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为L0上的点. ………………………………………………………………. （12分) 对圆柱面上任意一点S(x,y,z)， 有
|n?P0S||n?P0O|， 即 ?|n||n|(?y?z?1)2?(x?z?1)2?(?x?y?2)2?6，
所以，所求圆柱面的方程为：
x2?y2?z2?xy?xz?yz?3x?3y?0. ………………. （15分) 二、（20分）设Cn?n是n?n复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C上的线性空间，
?0??1F??0???0?00100?an??0?an?1?0?an?2?.
??1?a1???a11a12?aa22（1）假设A??21???a?n1an2A?an1Fn?1?an?11Fn?2?a1n??a2n?，若AF?FA，证明： ??ann???a21F?a11E；
（2）求Cn?n的子空间C(F)??X?Cn?n|FX?XF?的维数. （1）的证明:记A?(?1,?2,,?n)，M?an1Fn?1?an?11Fn?2??a21F?a11E.要证明
M?A，只需证明A与M的各个列向量对应相等即可.若以ei记第i个基本单位列向量.于是，只需证明：对每个i，Mei?Aei(??i). ……………………… （2分)
若记??(?an,?an?1,Fe1?e2,F2e1?Fe2?e3,,?a1)T，则F?(e2,e3,,en,?).注意到，
,Fn?1e1?F(Fn?2e1)?Fen?1?en （*） ….. （6分)
由
Me1?(an1Fn?1?an?11Fn?2?????????an1Fn?1e1?an?11Fn?2e1?????????an1en?an?11en?1??a21F?a11E)e1?a21Fe1?a11Ee1
?a21e2?a11e1???????????Ae1...............................................(10分）知Me2?MFe1?FMe1?FAe1?AFe1?Ae2
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2222 Me3?MFe1?FMe1?FAe1?AFe1?Ae3
Men?MFn?1e1?Fn?1Me1?Fn?1Ae1?AFn?1e1?Aen
所以，M?A. ………………………….. （14分)
（2）解： 由（1），C(F)?span{E,F,F2,设x0E?x1F?x2F2?,Fn?1}，………… （16分)
?xn?1Fn?1?O，等式两边同右乘e1，利用（*）得
?xn?1Fn?1)e1
??Oe1?(x0E?x1F?x2F2??x0Ee1?x1Fe1?x2F2e1??x0e1?x1e2?x2e3?因e1,e2,e3,?xn?1Fn?1e1?xn?1en.........................(18分）?xn?1?0…………（19分)
,Fn?1是C(F)的基，特别地，
,en线性无关，故，x0?x1?x2?所以，E,F,F2,,Fn?1线性无关.因此，E,F,F2, dimC(F)?n. ……………………………（20分)
三、（15分）假设V是复数域C上n维线性空间（n?0），f,g是V上的线性变换.如果fg?gf?f，证明：
f的特征值都是0，且f,g有公共特征向量.
证明：假设?0是f的特征值，W是相应的特征子空间，即W????V|f(?)??0??.于是，W在f下是不变的. …………………………（1分)
下面先证明，?0=0.任取非零??W，记m为使得?,g(?),g2(?),当0?i?m?1时，?,g(?),g2(?),,gi(?)线性无关…..（2分)
,gi?1(?)},其中，W0?{?}.因此，dimWi?i（1?i?m），并且，
,gm(?)线性相关的最小的非负整数，于是，
0?i?m?1时令Wi?span{?,g(?),g2(?),Wm?Wm?1?Wm?2?. 显然，g(Wi)?Wi?1，特别地，Wm在g下是不变的. ………………（4分)
下面证明，Wm在f下也是不变的.事实上，由f(?)??0?，知
fg(?)?gf(?)?f(?)??0g(?)??0?…………（5分)
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第一届大学生数学竞赛(数学类)考题及复习资料
