由图可知当?428?k?时，f?x?与y?k有三个交点， 33?428?,?． 33??所以实数k的取值范围为??【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值、单调性、零点，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
x2y2322.已知椭圆C：2+2=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．
ab3（1）求椭圆C的离心率； （2）若点M（3，
3）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与2直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值． 【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由题意，得a?c?1．（2）3 23b，然后求解离心率即可； 32
2
?3?（2）由（1）得a=2c，则b=3c．将M??3，2??代入椭圆方程可解得c=1，求出椭圆方程，
??直线OM的方程为y?11x，当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线y?x上，故直22线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与椭圆联立消y，设A，B坐标，利用韦达定理求出AB的中点N??3m??4km，22?，代入可得k值，再利用判别式推出
3?4k3?4k???12＜m＜12，且m≠0，利用弦长公式以及三角形的面积，利用均值不等式可得最值．
【详解】（1）由题意，得a?c?3b， 3则(a?c)?2121b，结合b2=a2-c2，得(a?c)2?a2?c2， 33??即2c-3ac+a=0，
22
亦即2e2-3e+1=0，结合0＜e＜1，解得e?1， 2所以椭圆C的离心率为
1． 2（2）由（1）得a=2c，则b2=3c2，
?3?x2y2将M??3，2??代入椭圆方程4c2?3c2?1，解得c=1，
??x2y2所以椭圆方程为??1，
43易得直线OM的方程为y?1x， 21x上，故直线l的斜率存在， 2当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线y?x2y2设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与??1联立，
43消y得（3+4k）x+8kmx+4m-12=0， 所以?=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12） =48（3+4k2-m2）＞0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），
2
2
2
8km4m2?12则x1?x2??，x1x2?，
3?4k23?4k2由y1?y2?k?x1?x2??2m?6m，
3?4k2得AB的中点N??3m??4km，22?，
3?4k3?4k??因为N在直线y?1x上， 2所以?4km3m3?2?，解得k=-． 2223?4k3?4k2
所以?=48（12-m）＞0，得-12＜m＜12，且m≠0，
|AB|=1?()2|x2-x1|
32=132·?x1?x2??4x1x2 2134m2?122= ?m?233912?m2． 6=又原点O到直线l的距离d=2m13，
所以SOAB2m139 ??12?m2?2613?36?12?m?m22
312?m2?m2???3， 62当且仅当12-m2=m2，m=?6时等号成立，符合-12＜m＜12，且m≠0， 所以△OAB面积的最大值为：3．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的离心率及面积最值问题，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出a，
c，从而求出e;②构造a，c的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求
解，面积最值问题通常结合韦达定理与均值不等式求解，属于较难题.
吉林省长春市绿园区长春兴华高中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试题
