2021年中考数学热点专题复习：利用等角解决旋转和轴对称问题
几何问题中常常出现隐含条件，有时可以从旋转、对称这些现象中发现其隐含的条件 ，如“相等的角”.
一、旋转
例1 如图1，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG，点B正好落在CD上的点E处，连结BE.
(1)求证: ?BAE?2?CBE;
(2)如图2，连BG交AE于M,点N为BE的中点，连MN、AF，试探究AF与MN的数量关系，并证明你的结论;
(3)若AB?5,BC?3，直接写出BG的长.
分析(1) 观察题目条件，发现隐含的相等的角是?CEB??AEB，这就找到了解决本题的钥匙.
因AB?AE，得?ABE??AEB. 又CE//AB，得?ABE??CEB.
在图1中作等腰?ABE底边上高，用互余角关系就能证之. (2)也是从?CEB??AEB这个条件考虑构造全等三角形. 如图2，过B点作BI?AE于I,连EG, 易得?BEC??BEI.
再证?BIM??GAM，得出M为BG的中点，所以MN? 而矩形对角线相等，故有EG?AF.
(3)因BI?BC?3,AB?5，在Rt?ABI中得AI?4，则MI?2. 在Rt?MIB中得BM?13， 则BG?213.
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1EG. 2
例2 如图3，正方形ABCD绕A点逆时针旋转到正方形AB?C?D?，且AC经过D?点，连CC?与DD?交于E.
(1)求证: E为CC?的中点;
(2)若DE?52，求正方形ABCD的边长.
分析(1) D?点落在对角线AC上，图中有较多的45?角，且B点也落在对角线AC?上，可得到?ADD???AD?D??C?CD???CD?E??AC?C?67.5?， 有EC?ED?';
?EC?D???ED?C??22.5?, 有EC?ED?，
从而得E是CC?的中点.，
(2)由于题中有较多的22. 5?和45?的角, 所以过C点作FC?CE交DE于F (如图4),则?ECF是等腰直角三角形，?FCD是底角为22. 5?的等腰三角形，则，CE?CF?FD.
设CE?x,EF?2x，得x?2x?52,
则CE?10?52. 再过C点作?ECF斜边上高CG; 则CG?52?5,DG?5, 用勾股定理，得CD?54?22.
二、轴对称 例3 如图5，现有边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上一点(不与A 点D点重合).将正方形纸片折叠，使点B落在CD上点P处，点C落在点G处，PG交DG于点H，拆痕为EF，连结BP,BH.
(1)若?ABP?25?，求?BPH的度数.
(2)当点P在AD边上移动时，?PDH的周长是否变化?并证明你的结论.
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分析(1) 由对折得
?ABP??EPB?25?,
则?BPH?90??25??65?.
(2)由?BPH?90??25??65?,可作出如下分析:
如图6，过B点作BI?PG于I，易证?BAP??BIP, 从而证明?BIH??BCH,
得出?PDH的周长不变，且等于正方形ABCD边长的2倍.
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