§5．控制系统的基本单元
1） 比例：
G(s)?k
2） 惰性（惯性）：
G(s)?1，T.时间常数 阶跃响应特征 Ts?13） 二阶振荡环节
G(s)?1 T时间常数，?阻尼系数
T2s2?2?Ts?1特征方程的根 s1.2??2?T?4?2?4T22T2
???T??2?1T
0???1，一对共轭复根（实部为负） 其响应表现为 衰减振荡
??0 ，一对共轭虚根 等幅振荡 ??1 ， 两个相等负实根 单调衰减 ??1 ，两个不相等的负实根,可分解为两个惰性单元 单调衰减
说明：系统动态响应的性质取决于其特征根的性质
4） 积分
G(s)?1 sr
1scr
1sc
5）延迟环节 G(s)?e??s
x(t)e- sτ
6）微分环节 以上三个环节2）.3）.4）.的倒数分别称为一阶微分，二阶微分，
纯微分
这些环节不能单独存在，只能与其它环节配合使用
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§6．线性化问题
以放大器为例：在一定范围内输出与输入是线性关系y=kx，但是当放大器饱和时，y与x就不是线性关系了。 微偏线性化
在工作点附近的小邻域内，将y与x之间的关系展成台劳级数
设y?f(x)
在x0附近可以表示成
f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?1''f(x0)(x?x0)2?...... 2对相当多的f(x)，当x?x0??x足够小，且在x0点f(x)高阶导数不是?时，忽略?x的高阶项，得
f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)
'即?y?f(x0)?x ，这说明y的增量与x的增量之间的关系变成了线性关系
举例：
LU0kR0iθ
R?R0?k??, U0已知，研究当??变化时，i如何变化
U0?Ldi?Ridtdi
?L?(R0?k??)i 两变量相乘,非线性！dt工作点设在?等于0处，有：
I0?U0,i?I0??i R0d(I0??i)?(R0?k??)(I0??i) dt17
于是：U0?L
U?i0?Lddt?R0I0?kI0???R0?i?k???i ∵U0?R0I0
∴Ld?id??R?i??kI0?? 电流按指数规律下降!
iI00t
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第三章：线性系统的时域分析方法
§1．稳定性
前面讲的随动系统是一个四阶微分方程，代入参数得
0.025?(4)?0.55?(3)?1.5?''??'???? 特征方程0.025s4?0.55s3?1.5s2?s?1?0 特征根s1??18.94,s2??2.62,s3,4??0.221?j0.889
?(t)?Aes1t?Bes2t?Ce?0.221tsin(0.889t??)??*(t)（?*(t)为特解）
A.B.C.D由初始条件求出
分析 当t??，前三项?0，?(t)??(t)
现将k（k为开环比例系数）增大10倍，再解特征方程得
*s1??18.89,s2??4.13,s3,4?0.501?j2.21
sts2t 于是得?(t)?Ae1?Be?Ce0.501tsin(2.21t??)??*(t)
?只要C?0,当t??,?(t)??,达不到?*(t)
可见?(t)取决于特征根。组成?(t)的分量诸如，叫运动模态 由这个例子我们可以得到下面的结论：
线性系统稳定的充分必要条件是特征方程的根部必须具有负的实部，或说特征根都在s平面的左半平面。
但是，对于非线性方程，在有些初始条件下，解能达到一种确定的状态，称为稳定的运动，而在另一些初始条件下的解表现为不稳定的运动。
所以，对一个非线性系统，不能笼统地称系统稳定与否，而只能说哪些解是稳定的，哪些是不稳定的。 见书上p107图3.3例
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e?it§2．稳定的Liapunov定义 一．定义
如果一个关于X的微分方程组，在初始条件X(t0)?X0下有解X(t)，且对于任意给定的正数ε>0，总存在一个正数δ(ε)，当初始条件X0变
为
X0时，只要||X0?X0||≤δ，其相应解X(t)在t>t0的任何时
~~~~刻都满足||X(t)?X(t)||<ε,则称解X(t)是稳定的。如果不存在这样的正数δ，则称解X(t)是不稳定的。 定义的几何解释见P.111图3.7
x?x(t)~x(t)x0??x0?0
t0t
? 大范围稳定 ?任意大
? 渐进稳定 稳定，存在?,x(t)无限趋于x(t) 工程上希望的系统是大范围渐进稳定的。
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2011天津大学自动控制原理本科生笔记
