一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截．求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）
（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37 ＝sin53°≈去，tan37°≈2，tan76°≈）
【答案】（1）观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截. 【解析】 【分析】
（1）先根据三角形内角和定理求出∠ACB＝90°，再解Rt△ABC，利用正弦函数定义得出AC即可；
（2）过点C作CM⊥AB于点M，易知，D、C、M在一条直线上．解Rt△AMC，求出CM、AM．解Rt△AMD中，求出DM、AD，得出CD．设缉私艇的速度为x海里/小时，根据走私船行驶CD所用的时间等于缉私艇行驶AD所用的时间列出方程，解方程即可． 【详解】
（1）在△ABC中，?ACB?180???B??BAC?180??37??53??90?. 在RtABC中，sinB?3AC?，所以AC?AB?sin37?25??15（海里）. AB5答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.
（2）过点C作CM?AB，垂足为M，由题意易知，D、C、M在一条直线上. 在RtACM中，CM?AC?sin?CAM?15?4?12，53AM?AC?cos?CAM?15??9.
5MD在Rt△ADM中，tan?DAM?，
AM所以MD?AM?tan76??36. 所以AD?AM2?MD2?92?362?917，CD?MD?MC?24.
设缉私艇的速度为v海里/小时，则有经检验，v?617是原方程的解.
24917，解得v?617. ?16v答：当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时，恰好在D处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
2．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE. 特殊发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）． 问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3)记
AC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说） BC
【答案】?1? PC?PE成立 ?2? ，PC?PE成立 ?3?当k为角形 【解析】 【分析】
3时，CPE总是等边三3（1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，得到EF∥MP∥CB，从而有
EMFP?，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE． MCPB（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论．
（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据多少即可． 【详解】
解：（1）PC=PE成立，理由如下：
如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴
ACAC?k，=tan30°，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是BCBCEMFP?，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE； MCPB
（2）PC=PE成立，理由如下：
如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF和△EAF中 ，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA，AF=AF， ∴△DAF≌△EAF（AAS）， ∴AD=AE，在△DAP和△EAP中， ∵AD=AE，∠DAP=∠EAP，AP=AP， ∴△DAP≌△EAP（SAS）， ∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC， ∴FD∥BC∥PM， ∴
DMFP?， MCPB∵点P是BF的中点， ∴DM=MC，又∵PM⊥AC， ∴PC=PD，又∵PD=PE，
∴PC=PE；
（3）如图4，∵△CPE总是等边三角形， ∴∠CEP=60°， ∴∠CAB=60°， ∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵
ACAC?k，=tan30°， BCBC3， 3∴k=tan30°=∴当k为3时，△CPE总是等边三角形． 3
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
3．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．
(1)求证：PA是☉O的切线；
(2)若
=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.
，tan D=
.
【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3【解析】
试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线； （2）连接BE，由
，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的
值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值． 试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，∵∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
，∴△PAO≌△PBO（SSS）
∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA， ∴PA是⊙O的切线； （2）连接BE，
∵
，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，
，
，
.
在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=∴AE=2OA=4
，OB=OA=2
在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OCPC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13， 在Rt△APO中，由勾股定理得：AP=
=3
中考数学压轴题专题复习——锐角三角函数的综合附答案解析
