第05讲 平面向量、解三角形
温故知新
知识要
点一
平面向量 向量：分值在10分左右，一般有一道小题的纯向量题，另外在函数、三角、解析几何与立体几何中均可能结合出题。向量是新增的重点内容，它融代数特征和几何特征于一体，能与三角函数、函数、解析几何、立体几何自然交汇、亲密接触。在处理位置关系、长度、夹角计算上都有优势，向量作为代数与几何的纽带，理应发挥其坐标运算与动点轨迹、曲线方程等综合方面的工具性功能，因此加大对向量的考查力度，充分体现向量的工具价值和思维价值，应该是今后高考命题的发展趋势。向量和平面几何的结合是高考选择、填空题的命题亮点，向量不再停留在问题的直接表达水平上，而与解析几何、函数、三角等知识有机结合将成为一种趋势，会逐渐增加其综合程度。 【要点梳理】 要点一：向量的有关概念 1．向量： 既有大小又有方向的量叫做向量．向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度)． 2．向量的表示方法：(1)字母表示法 (2)几何表示法 (3)坐标表示法 3．相等向量： rr长度相等且方向相同的向量．向量可以自由平移，平移前后的向量相等．两向量a与brr相等，记为a?b．
4．零向量：长度为零的向量叫零向量．零向量只有一个，其方向是任意的． 5．单位向量：
长度等于1个单位的向量．单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量． 6．共线向量：
方向相同或相反的非零向量，叫共线向量．任一组共线向量都可以移到同一直线上．规
r定：0与任一向量共线．
注：共线向量又称为平行向量．
7．相反向量： 长度相等且方向相反的向量．
要点二、向量的运算 1．运算定义 运 算 加法与减法 图形语言 符号语言 坐标语言 ???OA+OB=OC OB?OA=AB ????????????记OA=(x1，y1)，OB=(x2，y2) ?????????uuuruuur则OA?OB=(x1+x2，y1+y2) uuuruuurOB?OA=(x2-x1，y2-y1) OA+AB=OB 实数与向量的乘积 两个向量的数量积 ????????????? AB??a 记a=(x，y) 则?a???x，?y? ????R rrrrrrrra?b?a?bcosa,b 记a?(x1,y1),b?(x2,y2) 则a?b=x1x2+y1y2 ??2．运算律
rrrrrrrrrr①a?b?b?a(交换律)； ②(a?b)?c?a?(b?c)(结合律)
实数与向量的乘积： rrrrrrrrr①?(a?b)??a??b； ②(???)a??a??a；③?(?a)?(??)a
两个向量的数量积：
①a·b=b·a； ②(?a)·b=a·(?b)=?(a·b)；③(a+b)·c=a·c+b·c
3．运算性质及重要结论
?????????????????uruur(1)平面向量基本定理：如果e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面rruruururuururuur内任一向量a，有且只有一对实数?1,?2，使a??1e1??2e2，称?1e1??2e2为e1,e2的线性
组合．)
(2)两个向量平行的充要条件 符号语言：a//b?a??b(b?0)
??????rr??坐标语言为：设非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a∥b?(x1，y1)=?(x2，y2)，或
x1y2-x2y1=0．
(3)两个向量垂直的充要条件 符号语言：a?b?a?b?0
??rr坐标语言：设非零向量a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1x2?y1y2?0
????(4)两个向量数量积的重要性质： ①a?|a| 即 |a|??2?2??2a(求线段的长度)；
uuuur(x2?x1)2?(y2?y1)2 PP12?②a?b?a?b?0(垂直的判断)；
????rra?b③cos??rr (求角度)．
a?brrx1x2?y1y2a?b cos??rr?
2222a?bx1?y1x2?y2 ? 典例分析
rrrrrrrrr例1．|a|=1，|b|=2，c= a+ b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
【解析】设所求两向量的夹角为?
Qc?a?b， c?a， ?c?a?(a?b)?a?a?a?b?0
????? C．120° D．150°
??????2???|a|2??|a||b|cos?， 即：cos??所以??120?.
????|a|??2|a||b|???1 ???2|b||a|?例2．给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为90°．如图所示，点C在以O
→→
→→→
为圆心的圆弧AB上运动．若OC＝xOA＋yOB，其中x、y∈R，则x＋y的最大值是________．
【解析】 设∠AOC＝α，则∠COB＝90°－α，
??x＝cos α→→→
∴OC＝cos α·OA＋sin α·OB，即?．
?y＝sin α?π
α＋?≤2． ∴x＋y＝cos α＋sin α＝2sin??4?
→→→→
例3．在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB＝1，P为AB边上的点，且AP＝λAB，若CP·AB→→
≥PA·PB，则λ的取值范围是( )
2－21－21＋2111＋2
A．[，1] B．[，1] C．[，] D．[，]
222222【解析】∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1， ∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，如图：
C（0，0），A（1，0），B（0，1），∵
=λ
，
，
∴λ∈[0，1]
，
，
．
?≥?，
∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ． 2λ2﹣4λ+1≤0， 解得：∵λ∈[0，1] ∴λ∈[故选：B．
，1]
，
ururururrrurur???rur．若平面向量a,b满足例4．对任意两个非零的平面向量?和?，定义?o??u???rrrrrrrrrr??n?a?b?0，a与b的夹角??(0,)，且aob和boa都在集合?n?Z?中，则aob=
4?2?（ ）
135 B．1 C． D． 222ururuuruurrr|a|urur???|?|nrur?ur?cos? ∴aob=r?cos??1 .【解析】∵?o??u2???|?||b|A．
uurrr|b|nboa?r?cos??2,
2|a|n1n2nn1? ∵??(0,) ∴ 4424uurrr|a|n3∴n1n2=3，∵n13n2，∴n1=3, aob=r?cos??1? 选C 22|b|∴cos2q= rrrr例5．设a是已知的平面向量且a?0，关于向量a的分解，有如下四个命题： rrrrr①给定向量b，总存在向量c，使a?b?c；
第05讲-平面向量、解三角形（培优）-教案教学文稿
