第5章 机械波
基本要求
1．理解描述简谐波的各物理量的意义及相互间的关系.
2．理解机械波产生的条件．掌握由已知质点的简谐振动方程得出平面简谐波的波函数的方法．理解波函数的物理意义．理解波的能量传播特征及能流、能流密度概念．
3．了解惠更斯原理和波的叠加原理.理解波的相干条件，能应用相位差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件. 4．理解驻波及其形成。
5．了解机械波的多普勒效应及其产生的原因.
基本概念
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1．机械波
机械振动在弹性介质中的传播称为机械波，机械波产生的条件首先要有作机械振动的物体，即波源；其次要有能够传播这种机械振动的弹性介质。它可以分为横波和纵波。
2.波线与波面 沿波的传播方向画一些带有箭头的线，叫波线。介质中振动相位相同的各点所连成的面，叫波面或波阵面。在某一时刻，最前方的波面叫波前。 3．波长? 在波传播方向上，相位差为2?的两个邻点之间的距离称为波长，它是波的空间周期性的反映。
4．周期T与频率? 一定的振动相位向前传播一个波长的距离所需的时间称为波的周期，它反映了波的时间周期性，波的周期与传播介质各质点的振动周期相同。周期的倒数称为频率，波的频率也就是波源的振动频率。
5．波速u 单位时间里振动状态（或波形）在介质中传播的距离。它与波动的特性无关，仅取决于传播介质的性质。
6．平面简谐波的波动方程 在无吸收的均匀介质中沿x轴传播的平面简谐波的波函数为
y?Acos(?t2??x??)
x?)??? u??或y?Acos??(t?其中，“-”表示波沿x轴正方向传播；“+”表示波沿x轴负方向传播。
》
波函数是x和t的函数。给定x，表示x处质点的振动，即给出x处质点任意时刻离开自己平衡位置的位移；给定t，表示t时刻的波形，即给出t时刻质点离开自己平衡位置的位移。
7．波的能量 波动中的动能与势能之和，其特点是同体积元中的动能和势能相
112?等。任意体积元的dWP=dWk?dW??dVA2?2sin2(?t?x??)
22?8．平均能量密度、能流密度 一周期内垂直通过某一面积能量的平均值是平均能量密度，用w表示。单位时间内，通过垂直于波传播方向单位面积的平均能量，叫做波的能流密度，用I表示。 其中w?wuTS11T12222I??wu??A?u ，wdt???ATS2T?029．波的衍射 波在传播过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，并能绕过障碍物而继续向前传播，这种现象称为波的衍射（绕射）。
10．波的干涉 几列波叠加时产生强度稳定分布的现象称为波的干涉现象。产生波的相干条件是：频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两列波的叠加。加强和减弱的条件，取决于两波在相干点的相位差????2??1?2πr2?r1?，
????2kπ?k?0,1,2,...? 时，合振幅达到极大Amax?A1?A2，称为干涉相长
?k?1,2,3...?振幅为极小，A?2πxcos?t。
?????2k?1?πA1?A2，称为干涉相消。
11．驻波 它由两列同振幅的相干波在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成。 驻波方程：y?2Acos~
?
12．半波损失 波由波疏介质行进到波密介质，在分界面反射时会形成波节，相当于反射波在反射点损失了半个波长的过程。
13．多普勒效应 因波源或观察者相对于介质运动，而使观察者接收到的波的频率与波源的振动频率不同的现象。
基本规律
1．惠更斯原理 介质中波动传到的各点均可看做能够发射子波的新波源，此后的任一时刻，这些子波的包迹就是该时刻的波前。据此，只要知道了某一时刻的波面，就可用几何作图的方法决定下一时刻的波面。因而惠更斯原理在很广泛的范围内解决了波的传播问题。下面通过球面波的传播来说明惠更斯原理的应用。如图5-1所示，t时刻的波面是半径为R1的球面 S1，按惠更斯原理，S1上的每一点都可以看成发射子波的点波源。以 S1面上各点为中心，以r?u?t为半径作半球面，这些半球面就是这些新的子波的波前，它们的包络面S2就是（t+Δt）时刻的波面。
2．多普勒效应 当观察者和波源之间有相对运动时，观察者所测到的频率?R和波源的频率?S不相同的现象称为多普勒效应。 当波源与观察者在同一直线上运动时，二者关系为?R?u：机械波在介质中的传播速度
vS：波源相对于介质的速度
}
图5-1
u?vR?S。 uvS
vR：观察者相对于介质的速度为
观察者接近波源时，vR前取“+”号，远离时，则取“-”号；波源朝向观察者运动时，vS前取“-”号，远离时，则取“+”号。
学习指导
1重点解析
下面将讨论本章的习题分类及解题方法：
（1）已知波动表达式求有关的物理量，如振幅、周期、波长、质元间的相位差等.
通常采用比较法，即将已知的波动表达式与标准的波动表达式进行比较，从而找出相应的物理量；也可以根据各物理量的关系，通过运算得到结果。 （2）已知波动的有关物理量，建立波动表达式
基本步骤如下：（a）由题给条件写出波源或传播方向上某一点的振动表达式。(b)在波线上建立坐标后，任取一点P，距原点为x，计算出p点的振动比已知点的振动在时间上超前或落后。设超前或落后的时间为t’，将原振动表达式中ｔ加上或减去t’，即得该波的表达式。也可计算出P点振动相位比已知点超前或落后，设超前或落后相位为
2??x，则将原振动表达式中的相位加上或减去
2??x。注意：
超前为加，落后为减。为方便起见，有时常把波线上的已知点选为坐标原点。
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（3）已知波形曲线，建立波动表达式
从波形曲线上确定有关的物理量。如波长、振幅等，特别要注意从曲线上确定某点（如原点）的振动相位，这可用旋转矢量法或解析法确定，然后写出该点的振动表达式，再根据传播方向写出波动表达式。
例1 已知一平面波在t=0s时的波形曲线如图5-2所示，波沿x轴正向传播，已知波的周期T?3s.
求（1）该波的波函数；（2）点P处质元的振动方程。
分析：首先要选一个参考点，如坐标原点，求出该点处质元的振动方程，因此必须求出振动的特征量A、?、?。然后由图中信息求出波长或波速，再根据波的传播方向，写出波函数。将P点x坐标值代入波函数即可求P处质元的振动方程。
解：选坐标原点为参考点，由图可知振幅
A?4?10?2m，T?3s图5-2
，则圆频率
??2?2??rad?s?1 T3波沿x轴正向传播，显然v0?0，利用旋转矢量法，画出t=0时刻对应的旋转矢量图如图5-3所示，则????3，于是原点处质元的振动方程为
y?4?10?2cos(2??t?)m 33为求波函数，要求出波长?或波速u。
·
先设波函数为y?4?10?2cos(2?2??t?x?)m 3?3由波形曲线可知t=0时刻，x=0.4m处，y??4?10?2m,代入波函数
?4?10?2?4?10?2cos(?得??1.2m
2??0.4?) ?32?5??t?x?)m 3332??t?)m 33?所以波函数为y?4?10?2cos(（2）P点 x=0.8m代入波函数即可求P处质元的振动方程是
y?4?10?2cos(
（4）波的干涉和驻波
波的干涉问题主要是计算相干波在空间各处相遇是增强还是减弱，这可通过二者相位差或波程差来确定。驻波问题中，波腹和波节的位置是计算问题的重点，而写出反射波是关键。
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例2 两波在一根很长的弦线上传播，其波动方程分别为
4?x?8?t) 34?y1?4.00?10?2cos(x?8?t)
3y1?4.00?10?2cos(求(1)两波的频率、波长、波速 (2)两波节叠加后的节点位置 (3)叠加后振幅最大的那些点的位置
大物习题答案第5章 机械波
