第四章 向量空间
一、
向量组相关性的判断
1. 向量方程x1?1?x2?2?2. 令A=(?1,?xs?s?0有非零解.（适用于抽象向量组）
用初等行变换将A化成阶梯阵。若r(A)?s，则?1,,?s)，,?s线性相关.
（适用于具体向量组） 3.
?1,,?s线性相关当且仅当Ax=0有非零解，其中A=(?1,,?s).（适用于具体向量
组）
例：设?1,?2,?3,?4线性无关，判断?1??2，?2??3，?3??4，?1??4的线性相关性. 解：考查向量方程x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??4)?x4(?1??4)?0，经过变形得到(x1+x4)?1?(x1?x2)?2?(x2?x3)?3?(x3?x4)?4?0. 因为?1,?2,?3,?4线性无关，所
?x1+x4=0?x?x=0?12T以?，有非零解(1,?1,1,?1)，所以?1??2，?2??3，?3??4，?1??4的线性?x2?x3=0??x3?x4=0相关. 二、 1.
向量组的极大无关组及秩的计算 设
?1,?c1i1??初等行变换,?s)?????????,?s?Fn，
c1i2c2i2c1irc2ircrirA=(?1,c1s??c2s???crs??，则
?i,?i,12,?is为极大线性无关组. （适用于具体向量组）
假设?j??kij?i?(?1,,?s线性无关，
i?1s2.
已知向量组?1,?k1j???1?j?t，,?s)??，
?k??sj??k1j???令?j=??，1?j?t，则?i1,?i2,?k??sj?当?i1,?i2,,?is为?1,?2,,?t的极大线性无关组当且仅
,?is为?1,?2,,?t的极大线性无关组.
例1：设 ?1,,?s线性无关，?1,,?s)A，证明?1,,?t可以由?1,,?s线性表出，不妨设
(?1,,?t)=(?1,,?t的秩为r(A).
,?t)，则?i?(?1,证明：对A按列向量组进行分块为A?(?1,?2,因为?i1,?i2,,?s)?i，i?1,,?is为?1,?2,,t.
,?is为?1,?2,,?t的极大线性无关组当且仅当?i1,?i2,,?t)=r(?1,?2,,?t的极大线性无关组，所以r(?1,,?t)=r(A).
例2：已知?1,?2,?3,?4线性无关，求?1??2??3??4,?1+2?3,?2+2?4,?3+?4的极大线性无关组.
解：
?1???1?1??2??3??4=(?1,?2,?3,?4)???1????1?，
?1???0?1?2?3=(?1,?2,?3,?4)???2????0?，
?0??0?????10????，?3??4=(?1,?2,?3,?4). ?2?2?4=(?1,?2,?3,?4)?0??1?????2???1?令
?1???1?1=???1????1?，
?1???0?2=???2????0?，
?0???1?3=???0????2?，
?0???0?4=???1????1?，
?1??1?1??1100??1100????010?初等行变换化阶梯阵?-110?，于是?1,?2,?3为?1,?2,?3,?4的极大线??????????20111???021???性无关组，因此?1??2??3??4,?1+2?3,?2+2?4,?3+?4的极大线性无关组为
?1??2??3??4,?1+2?3,?2+2?4.
三、 矩阵秩的计算 1. 化阶梯阵，阶梯阵主元的个数即为矩阵的秩. 2. 利用矩阵秩的性质.
?n，若 r(A)?n.??例 1：设A?Mn （n?2），证明：r(A)??1，若r(A)?n?1。
?n，若r(A)?n?2?例 2：设A?Mn满足A2?I，证明：r(A+I)?r(A?I)?n. 3. 利用齐次线性方程组基础解系中含向量的个数求系数矩阵的秩. 例1：证明：r(AB)?r(B)当且仅当ABx?0与Bx?0同解.
证明：，因为r(AB)?r(B)，所以ABx?0与Bx?0的基础解系中向量的个数一样“?”多，显然Bx?0的解都是ABx?0的解，所以Bx?0的基础解系也是ABx?0的基础解系，故ABx?0与Bx?0同解.
,ABx?0与Bx?0同解,所以ABx?0与Bx?0的基础解系中向量的个数一样多，“?”又ABx?0的基础解系中向量的个数等于n?r(AB)（其中n为方程组中未知元的个数），
Bx?0的基础解系中向量的个数等于n?r(B)，所以r(AB)?r(B).
例2：设A列满秩，证明：r(AB)?r(B).
证明：只要证明ABx?0与Bx?0同解，显然Bx?0的解都是ABx?0的解.取?为
ABx?0的解，即AB??A(B?)?0。由于A列满秩，由A(B?)?0可得到B??0，即?为Bx?0的解。所以ABx?0与Bx?0同解.
?AB?4. 打“洞”法求矩阵??的秩，只要A,B,C,D中有一块可逆，就可以求出其秩.例
CD???0如C可逆，则第二行左乘?AC加到第一行得到??C?1B?AC?1D??，再用第一列右乘
D??0?CD加到第二列得到??C?1B?AC?1D??AB??1，故r???=r(B?ACD)?r(C)。
0?CD??T?1T?1 例1：设A,B,C,D为n阶矩阵，其中A可逆，证明（1）r(A?BAC)?r(A?C(A)B)；（2）r(A?BAC)?r(A?CAB)；（3）r(A?BAC)?r(A?CAB)。
证明：构造2n阶行列式，分别通过第一块和第四块“打洞”求行列式，得到所要的等式。
?1?1?1?1?AC??AC??AC?（1）?；（2）?（3）? ?；T??1?BABABA??????例2：设A?Mm?n，B?Mn?m，证明：n?r(Im?AB)=m?r(In?BA).
证明：构造矩阵??Im?BA??,由于Im可逆可以做初等变换“打洞”In???Imr，所以??In?BA??B0?Im??BA?初等变换?Im???????In??0A???m?r(In?BA). In?A?初等变换?Im?AB???????In??00??，所以In??Im又由于In可逆可以做初等变换“打洞”??B?Ir?m?BA???n?r(Im?AB). 故n?r(Im?AB)=m?r(In?BA). In? 四、 线性方程组的求解
1. Ax?b求解.讨论带参数的方程组的求解问题.
?x1?x2?x3?1?例： 已知?x1?2x2?x3?3有无穷多解，求a并求解方程组.
?x?x?ax?13?1211??1111??11????解：12?13?01?22，由于方程组有无穷多解，所以a?1。求得特??????11a1????00a?10??解?0=(?1,2,0)T，求得导出组的基础解系为：?=(?3,2,1)，故通解为?0+c?。
2. AX?B求解.
设A?Mm?s，X?Ms?n，B?Mm?n，对X和B分别按列向量分块为X?(x1,T,xn)和
B?(?1,（i?1,,?n),故求X化为分别求解Axi??i，i?1,,n. 如果对每个方程组Axi??i,n）分别做高斯消元化阶梯阵会有很多重复的工作，所以可以采用下面的格式一
次将它们同时化为阶梯形.
?c11??初等行变换(AB)?????????c1i2c2i2c1irc2ircrirc1sc1scrsd1s?1d2s?1drs?1d1s?n??d2s?n??， ?drs?n??（这里讨论的是有解的情况. 对于一般的情况若有某个dr?1,j不等于零，则无解.），所以
?c11??初等行变换(A?i)?????????通解?i。故X?(?1,
c1i2c2i2c1irc2ircrirc1sc1scrsd1s?id2s?idrs?i????，解得Axi??i的???,?n)，即为所求。
练习题
1. （1）已知?1,?2,?3线性无关，求?1+?2,?2+?3,?3+?1的极大线性无关性；
（2）已知?1,?2,?3,?4线性无关，求?1+?2,?2+?3,?3+?4,?4+?1的极大线性无关性。 2． （1）设A?Mn，若存在k?N使得r(A)?r(A（2）设A?Mn，证明r(A)?r(Ann?1kk?1kk?1k?2证明r(A)?r(A)=r(A)=)，
)?r(An?2)?
?ax1?x2?x3?4?3. 已知线性方程组?x1?bx2?x3?3，讨论方程组何时有解并求解。
?ax?2bx?x?423?14. 设A?Mm,n，B?Mn,m满足AB?Im，证明：r(A)?r(B)?m。
5. 设Ax?b(b?0)有解，证明Ax?b的解集中极大无关组含的向量个数为n?r(A)?1。 6. 设A?Mn （n?2），证明：(A)?|A|??n?2A.
7. 证明：r(AB?I)?r(A?I)?r(B?I)。 8. 通过平面的方程讨论三个平面的位置关系。
9. 求使齐次线性方程组
?3x1?x2?x3?4x4?0??x?4x?10x?x?0?1234 ?x?7x?17x?3x?0234?1??2x1?2x2?4x3?3x4?0的基础解系中解向量个数最多的?的值，并求出通解。
210. 设A是n阶方阵，满足A?I，且A?I，证明(A?I)x?0有非零解。
线性代数第四章总结 - 图文
