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有限差分法求解一维非稳态导热问题研究
作者：韩家玄
来源：《科学与信息化》2020年第05期
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摘 要 本文针对导热问题中的一维非稳态导热，引入一维热传导方程。利用有限差分法中的差商公式对一维热传导方程进行差分化并将差分格式矩阵化。对有限差分法做了应用举例，利用MATLAB编程求出已知定解条件的一维非稳态导热问题的数值解。最后对有限差分法的适用范围做了推广。
关键词 有限差分法;一维热传导方程;数值解 1 一维非稳态导热问题 1.1 一维热传导方程
导热、对流和辐射是热量传递的三种基本形式。其中，导热是指物体的各部分之间不发生相对位移，仅依靠分子、原子和自由电子之类的微观粒子的热运动引起的热量传递过程[1]。类似于电磁场和重力场，传热的物体中存在着温度场。物体的温度场是指物体在不同时刻各空
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间点处的温度分布总称。根据物体温度场的不同来划分，一维非稳态导热是指温度场空间分布为一维，同时还具有时间分布的导热方式。工程领域中诸多导热问题可以抽象成一维非稳态导热，其中涉及一个重要的模型，即长宽远大于厚度的平壁导热模型。
考虑上述平壁导热模型，其温度仅在厚度方向上有差异。设温度函数为关于平壁厚度和时间的二元函数。根据文献[1]中的推导，有如下关系方程： （1-1）
此即为一维非稳态导热的偏微分方程，又称一维热传导方程。其中常数，被称为热扩散率，和分别为材料的导热系数、比热容和密度。 1.2 一维非稳态导热的定解条件
通过求解热传导方程，能够得到非稳态导热物体的温度场在时间和空间上的分布情况。当然，为求解热传导方程，还需要加入特定导热问题的定解条件。对于一维非稳态导热问题，定解条件分为初始条件和边界条件，初始条件为零时刻时温度在不同空间位置的分布，边界条件为物体两端边缘处温度在不同时刻的分布。
一维非稳态导热问题涉及偏微分方程的求解，往往不能得到解析解或解析解形式過于复杂，一般考虑采用有限差分法来求其数值解。有限差分法是解决偏微分问题的常用方法之一，其本质是基于差分的思想，将微分和导数用差分和差商来近似代替。由于有限差分法是将自变量和函数值离散化，因此其能与计算机软件相结合，通过计算机编程来求解结果从而减轻人工计算量。
2 有限差分法求解
2.1 有限差分法中的差商公式
为方便描述，取一元函数为研究对象。将其区间等分，得到一组离散化后的自变量点，即，定义步长为相邻两点的距离。以下利用泰勒公式推导一阶和二阶导数的差商公式： 将在处进行一阶泰勒展开，即： （2-1）
忽略无穷小项，则在处的一阶导数可以用差商来表示： （2-2）
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