定理19.11：(可微性)设f(x,y)与fx(x,y)在区域I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=?cf(x,y)dy在I上收敛，?cfx(x,y)dy在I上一致收敛，则φ(x)在I上可微，且φ’(x) =?cfx(x,y)dy.
证：对任一递增且趋于+∞的数列{An} (A1=c)，令un(x)=?A由定理19.3推得un’(x)=?Afx(x,y)dy.
n??????An?1nf(x,y)dy.
An?1由?cfx(x,y)dy在I上一致收敛及定理19.9，可得函数项级数
???un?(x)=??n?1n?1??An?1Anfx(x,y)dy在I上一致收敛.
根据函数项级数的逐项求导定理，即得：
?(x)=??φ’(x) =?unAn?1n?1??An?1nfx(x,y)dy=???cfx(x,y)dy.或写作
??d??fx(x,y)dy. =f(x,y)dy??ccdx
推论：设f(x,y)与fx(x,y)在区域I×[c,+∞)上连续，若φ(x)=?cf(x,y)dy在I上收敛，?cfx(x,y)dy在I上内闭一致收敛，则φ(x)在I上可微，且φ’(x) =?cfx(x,y)dy.
定理19.12：(可积性)设f(x,y)在[a,b]×[c,+∞)上连续，若φ(x)=?cf(x,y)dy在[a,b]上一致收敛，则φ(x)在[a,b]上可积，且
?????????badx???cf(x,y)dy =?dy?f(x,y)dx.
ca??b证：由定理19.10知φ(x)在[a,b]上连续，从而在[a,b]上可积. 又函数项级数φ(x)=??An?1?An?1nf(x,y)dy=?un(x)在I上一致收敛，且
n?1?各项un(x)在[a,b]上连续，根据函数项级数逐项求积定理，有
?ba?(x)dx=??un(x)dx=??dx?n?1an?1b?b?bAn?1aAnf(x,y)dy=??n?1?An?1Andy?f(x,y)dx，即
ab?
badx???cf(x,y)dy =?dy?f(x,y)dx.
ca??定理19.13：设f(x,y)在[a,+∞)×[c,+∞)上连续，若
(1)?af(x,y)dx关于y在[c,+∞)上内闭一致收敛，?cf(x,y)dy关于x在[a,+∞)上内闭一致收敛；
(2)积分?adx?c|f(x,y)|dy与?cdy?a|f(x,y)|dx中有一个收敛. 则
???????????????adx???cf(x,y)dy=?dy?c????????af(x,y)dx.
????证：不妨设?adx?c|f(x,y)|dy收敛，则?adx?cf(x,y)dy收敛. 当d>c时，记Jd=|?cdy?af(x,y)dx-?adx?cf(x,y)dy| =|?cdy?af(x,y)dx-?adx?cf(x,y)dy-?adx?df(x,y)dy|. 由条件(1)及定理19.12可推得：
Jd=|?adx?df(x,y)dy|≤|?adx?df(x,y)dy|+?Adx?d|f(x,y)|dy. 由条件(2)，?ε>0, ?G>a，使当A>G时，有?Adx?d|f(x,y)|dy<. 选定A后，由?cf(x,y)dy的一致收敛性知，?M>a，使得当d>M时， 有|?df(x,y)dy|<
????????????A??d????d????d???????????????2?2(A?a)??. ∴Jd<+=ε，即有limJd=0，
d??????2?2∴?adx?cf(x,y)dy=?cdy?af(x,y)dx.
例5：计算：J=?0e?px解：∵
??sinbx?sinaxdx (p>0,b>a). xsinbx?sinaxb=?acosxydy，∴xJ=?0edx?acosxydy=?0dx?ae?pxcosxydy.
?px??b??b由|e-pxcosxy|≤e-px及反常积分?0e?pxdx收敛， 根据魏尔斯特拉斯M判别法知，
含参量反常积分?0e?pxcosxydx在[a,b]上一致收敛.
又e-pxcosxy[0,+∞)×[a,b]上连续，根据定理19.12交换积分顺序得： J=?a
例6：计算：?0??b????dy?e?pxcosxydx=?0??babapdy=arctan- arctan.
ppp2?y2sinaxdx. x??解：利用例5的结果，令b=0，则有F(p)=?0e?pxasinaxdx=arctan (p>0).
px由阿贝尔判别法可知含参量反常积分F(p)在p≥0上一致收敛， 又由定理19.10知，F(p)在p≥0上连续，且F(0)=?0??sinaxdx. x??sinaxπaπ又F(0)=lim?F(p)=lim?arctan=agn a. ∴?0dx=agn a.
p?0p?0p22x
例7：计算：φ(r)=?0e?xcosrxdx..
解：∵|e?xcosrx|≤e?x对任一实数r成立且反常积分?0e?xdx收敛， ∴含参量反常积分φ(r)=?0e?xcosrxdx在(-∞,+∞)上收敛. 考察含参量反常积分?0(e2222??2??2??2???x2cosrx)?rdx=??xe?xsinrxdx，
0??2??2∵|-xe?xsinrx|≤xe?x对一切x≥0, r∈(-∞,+∞)成立且?0e?xdx收敛， 根据魏尔斯特拉斯M判别法知， 含参量反常积分?0(e???x2cosrx)?rdx在(-∞,+∞)上一致收敛.
由定理19.11得φ’(r)=?0?xe??xAesinrx0?=Alim????2???x2sinrxdx=limA???0?A?xe?x2sinrxdx
1?2rA?x2rA?x2r?ecosrxdx==φ(r). ?ecosrxdx????00222???2∴φ(r)=ce
?r24. 又φ(0)=?0e?xdx=
ππ=c. ∴φ(r)=e22?r24.
概念2：设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义，若对x的某些值，y=d为函数f(x,y)的瑕点，则称?cf(x,y)dy为含参量x的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分. 若对每一个x∈[a,b]，?cf(x,y)dy都收敛，则其积分值是x在[a,b]上取值的函数.
定义2：对任给正数ε, 总存在某正数δ 习题 1、证明下列各题 (1)?1??ddddy2?x2dx在(-∞,+∞)上一致收敛； (x2?y2)2?x2y(2)?0e????dy在[a,b] (a>0)上一致收敛； (3)?0e?t??sinatdt在0 11b(6)?01dx(i)在(-∞,b] (b<1)上一致收敛，(ii)在(-∞,1]内不一致收敛； xp(7)?0xp?1(1?x)q?1dx在0 ??dxy2?x21y2?x2证：(1)∵222≤222≤2，且?12收敛， xx(x?y)(x?y)1∴?1??y2?x2dx在(-∞,+∞)上一致收敛. 222(x?y)?x2y(2)∵当0 1ex2y≤ 1ea2y，且?1??dyea2y收敛， ∴?0e?xydy在[a,b] (a>0)上一致收敛. (3)对任何N>0，∵?0e?tsinatdt≤?0e?tdt≤1，即?0e?tsinatdt一致有界. 又关于在(0,+∞)单调，且→0 (t→∞)，由狄利克雷判别法知， 1t1tNNN???0e?tsinatdt在0 -ay ??(4)(i)∵当0 11<0, 则对任何M>0, 令A=M, A=2M, x=, 有 1202Me??e?112M>2=ε0，∴?0xe?xydy在 [0,b]上不一致收敛. M=2ee???A2A1x0e?x0ydy=e?x0y??方法二：∵?0xe?xydy=????0,x?0，且xe-xy在[0,b]×(0,+∞)内连续， ?1,0?x?b由连续性定理知?0xe?xydy在 [0,b]上不一致收敛. (5)∵在[,b]×(0,1] (b>1)内, |ln(xy)|=|lnx+lny|≤|lnx|+|lny|≤lnb-lny, 且?0(lnb?lny)dy收敛, ∴?0ln(xy)dy在[,b](b>1)上一致收敛. 1dx11(6)(i)∵当p≤b<1, x∈(0,1]时，p≤b，又?0b收敛， xxx111b1b∴?01dx在(-∞,b] (b<1)上一致收敛. xp
数学分析19.2含参量积分之含参量反常积分(含习题及参考答案)
