玩转数学安老师培优课堂第7讲
1.基本初等函数的导数公式基本初等函数f(x)＝c(c为常数)f(x)＝xα(α∈Q*)f(x)＝sinxf(x)＝cosxf(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f(x)＝lnxf(x)＝logax(a>0，a≠1)导数的计算
[玩前必备]导函数f′(x)＝0f′(x)＝αxα－1f′(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf′(x)＝exf′(x)＝axlnaf′(x)＝f′(x)＝1x1xlna2..导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；f?x?f′?x?g?x?－f?x?g′?x?(3)g?x?′＝(g(x)≠0)．[g?x?]23.复合函数y＝f(u(x))的导数．dyduy＝f(u(x))是x的复合函数，则y′＝f′(u(x))＝·＝f′(u)·u′(x)．dudx[玩转典例]题型一例1利用导数公式求函数的导数求下列函数的导数．x2π1(1)y＝cos；(2)y＝5；(3)y＝；6xxπ－x(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cos2.解(1)y′＝0.15－－－
(2)∵y＝5＝x5，∴y′＝(x5)′＝－5x6＝－6.xx关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。玩转数学安老师培优课堂3
3
13x23(3)∵y＝＝x2，∴y′＝(x2)′＝x2＝x.2x2(4)y′＝1.xln10(5)y′＝5xln5.π－x(6)∵y＝cos2＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.[题型练透]1.求下列函数的导数．(1)y＝x；12
(2)y＝x3；xx(4)y＝2sincos.225
(3)y＝log2x；解(1)y′＝(x12)′＝12x11.5
33?53(2)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝.5525x352
(3)y′＝(log2x)′＝1.xln2xx2sincos(4)y′＝22′＝(sinx)′＝cosx.题型二例2利用导数的四则运算法则求导求下列函数的导数．xx(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；22ex＋1(3)y＝x＋log3x；(4)y＝.ex－12
解(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex
＝x2(3＋x)ex.1(2)∵y＝x－sinx，211∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.221(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.xln3?ex＋1?′?ex－1?－?ex＋1??ex－1?′(4)y′＝?ex－1?2ex?ex－1?－?ex＋1?ex－2ex＝＝.?ex－1?2?ex－1?2[题型练透]关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。玩转数学1.求下列函数的导数．①y＝2x3－3x＋x＋1xx；x2＋1②y＝；x2＋3④y＝xsinx－?32安老师培优课堂③y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)；解32?12－12.cosx①∵y＝2x－3x＋x＋x，12353?23?2?2
∴y?＝3x?x?x?x.
22②方法一?x2＋1?′?x2＋3?－?x2＋1??x2＋3?′y′＝?x2＋3?2
2x?x2＋3?－2x?x2＋1?＝?x2＋3?24x＝2.?x＋3?2方法二＝1－x2＋1x2＋3－2∵y＝＝x2＋3x2＋32，x2＋31－－22x2＋3′＝x2＋3′∴y′＝?－2?′?x2＋3?－?－2??x2＋3?′4x＝＝2.?x＋3?2?x2＋3?2③方法一y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23.方法二∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5)＝x3＋9x2＋23x＋15，∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.2④y′＝(xsinx)′－cosx′＝x′sinx＋x(sinx)′－2sinx＝sinx＋xcosx－2.cosx题型三简单复合函数求导2′cosx－2?cosx?′cos2x关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。玩转数学例3求下列函数的导数．安老师培优课堂(1)y＝ecosx＋1；(2)y＝log2(2x＋1)；π3x－(3)y＝2sin6；(4)y＝解11－2x.(1)设y＝eu，u＝cosx＋1，＋
则yx′＝yu′·ux′＝eu·(－sinx)＝－ecosx1sinx.(2)设y＝log2u，u＝2x＋1，则yx′＝yu′·ux′＝22＝.uln2?2x＋1?ln2π(3)设y＝2sinu，u＝3x－，6π3x－则yx′＝yu′·ux′＝2cosu×3＝6cos6.(4)设y＝u?1
2，u＝1－2x，?12则yx′＝yu′·ux′＝(u
3
)′·(1－2x)′3
?1?
＝－u2×(－2)＝(1－2x)2.2[题型练透]1.求下列函数的导数．1－
①y＝3－x；②y＝ln(x2＋1)；③y＝a12x(a>0，a≠1)．2解①设y＝u，u＝3－x，12u·(－1)＝－123－x.则yx′＝yu′·ux′＝x11111②设y＝lnu，u＝x2＋1，则yx′＝yu′·ux′＝··(2x)＝·2·(2x)＝2.22u2x＋1x＋1③令y＝au，u＝1－2x，则yx′＝yu′·ux′＝au·lna·(－2)＝a1
－2x
lna·(－2)＝－2a1
－2x
lna.题型四例4答案解析与切线有关的问题(1)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．(e，e)设P(x0，y0)．∵y＝xlnx，1∴y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，x∴k＝1＋lnx0.关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。玩转数学又k＝2，∴1＋lnx0＝2，∴x0＝e.∴y0＝elne＝e.∴点P的坐标是(e，e)．(2)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数为f′(x)＝2x－8.①求a，b的值；②设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．解①因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，安老师培优课堂又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.②由①可得g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7.又知g(0)＝3，所以g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)，即7x＋y－3＝0.[题型练透]π，22－cosx1.设曲线y＝在点2处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.sinx答案解析1sin2x－?2－cosx?cosx1－2cosx∵y′＝＝，sin2xsin2xπ1－2cosπ2＝1.当x＝时，y′＝2πsin2
211又直线x＋ay＋1＝0的斜率是－，∴－＝－1，即a＝1.aa2.曲线y＝esinx在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．解设u＝sinx，则y′＝(esinx)′＝(eu)′(sinx)′＝cosxesinx，即y′|x＝0＝1，则切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直线l与切线平行，可设直线l的方程为x－y＋c＝0.两平行线间的距离d＝|c－1|＝2，所以c＝3或c＝－1.2故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.题型五与距离有关的问题关注公众号:玩转高中数学研讨，获取更多经典资料，加入QQ群721144129，资料任意下。
第7讲 导数的计算教师
