解三角形正弦定理和余弦定理

解三角形 正弦定理和余弦定理

教学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.

2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

自主梳理

1．三角形的有关性质

(1)在△ABC中，A＋B＋C＝________； (2)a＋b____c，a－b

(3)a>b?sin A____sin B?A____B；

111

(4)三角形面积公式：S△ABC＝ah＝absin C＝acsin B＝_________________；

222

(5)在三角形中有：sin 2A＝sin 2B?A＝B或________________?三角形为等腰或直角三角形；

A＋BC

sin(A＋B)＝sin C，sin ＝cos . 22

2．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 2a＝_________________， 内容 __________________＝2R b2＝_________________， c2＝_________________. ①a＝__________，b＝__________， c＝__________； cos A＝________________； ②sin A＝________，sin B＝________， 变形 sin C＝________； cos B＝________________； 形式 ③a∶b∶c＝__________； cos C＝_______________. a＋b＋ca④＝ sin A＋sin B＋sin Csin A①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边． ①已知三边，求各角； 解决 ②已知两边和其中一边的对角，求另一②已知两边和它们的夹角，求第三边和的问题 其他两个角. 边和其他两角． 自我检测 1．若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形

C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc， sin C＝23sin B，则A等于 ( ) A．30° B．60° C．120° D．150° 3．在△ABC中，A＝60°，b＝1，△ABC的面积为3，则边a的值为( ) A．27 B.21 C.13 D．3

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝2，b＝2， sin B＋cos B＝2，则角A的大小为________．

2π

5．在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝，则a＝________.

3

探究点一 正弦定理的应用

例1 (1)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C和边c； (2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.

1

变式迁移 (1)在△ABC中，若tan A＝，C＝150°，BC＝1，则AB＝________；

3

(2)在△ABC中，若a＝50，b＝256，A＝45°，则B＝________. 探究点二 余弦定理的应用

例2 已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小；

(2)若c＝3a，求tan A的值．

2π

变式迁移 在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，B＝，b＝13，a＋c＝4，求a.

3

探究点三 正、余弦定理的综合应用

例3 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．

ACcos B

变式迁移 在△ABC中，＝.

ABcos C

(1)证明：B＝C；

π1

4B＋?的值． (2)若cos A＝－，求sin?3??3

1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．

2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B等于 ( )

222266A．－ B. C．－ D. 3333

→→

2.在△ABC中AB＝3，AC=2，BC=10，则AB?AC等于 ( )

3223A．－ B．－ C. D.

2332

Ac－b

3．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )

22c

A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 4．在△ABC中，若A＝60°，BC＝43，AC＝42，则角B的大小为( )

A．30° B．45° C．135° D．45°或135° 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，

c＝2a，则 ( )

A．a>b B．a

7．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin C＝________. 8．在锐角△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，则∠BAC的大小为______． 三、解答题(共38分)

9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos

A25→→

，ABAC=3. ?25(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值．

10．(12分)在△ABC中，已知B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．

11．(14分)设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.

(1)求sin A的值；

ππA＋?sin?B＋C＋?2sin?4??4??

(2)求的值．

1－cos 2A