二倍角的正弦、余弦和正切公式(基础)
【学习目标】
1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并了解它们之间的内在联系.
2．能熟练运用二倍角公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式．但不要求记忆），能灵活地将公式变形并运用．
3．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想、方程思想等在三角恒等变换中的作用.
【要点梳理】
要点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2??2sin??cos?(S2?)
cos2??cos2??sin2?(C2?)?2cos2??1?1?2sin2?tan2??2tan?(T2?) 21?tan?
要点诠释：
(1)公式成立的条件是：在公式S2?,C2?中，角?可以为任意角，但公式T2?中，只有当
???2?k?及???4?k?(k?Z)时才成立； 2(2)倍角公式不仅限于2?是?的二倍形式，其它如4?是2?的二倍、
??是的二倍、243?是
3?的二倍等等都是适用的.要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好2n?2sincos；二倍角公式，这是灵活运用公式的关键. 如：si?22??sin?2n?2sin?2cosn?1?2n?1(n?Z)
2．和角公式、倍角公式之间的内在联系
在两角和的三角函数公式S???,C???,T???中，当???时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：
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要点二：二倍角公式的逆用及变形 1．公式的逆用
2sin?cos??sin2?；sin?cos??1sin2?． 2cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2??cos2?． 2tan??tan2?． 21?tan?2．公式的变形
1?sin2??(sin??cos?)2；
降幂公式：cos??21?cos2?1?cos2?,sin2?? 22升幂公式：1?cos2??2cos2?,1?cos2??2sin2?
要点三：两角和与差的三角函数公式能够解答的三类基本题型
求值题、化简题、证明题 1．对公式会“正着用”，“逆着用”，也会运用代数变换中的常用方法：因式分解、配方、凑项、添项、换元等；
2．掌握“角的演变”规律，寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，如
??(???)??,2??(???)?(???)等等，把握式子的变形方向，准确运用公式，
也要抓住角之间的规律(如互余、互补、和倍关系等等)；
3．将公式和其它知识衔接起来使用，尤其注意第一章与第三章的紧密衔接. 【典型例题】
类型一：二倍角公式的简单应用 例1．化简下列各式：
（1）4sin?2cos?2；（2）sin2?8?cos2?8；（3）
tan37.5?． 21?tan37.5?【思路点拨】逆用二倍角的正弦、余弦和正切公式．
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【答案】（1）2sin?（2）?【解析】 （1）4sin22?3（3） 22?2cos?2?2?2sin?2cos?2?2sin?．
（2）sin2?8?cos2?????2?． ???cos2?sin2???cos??888?42?（3）
tan37.5?12sin37.5?12?3． ???tan75??221?tan37.5?21?tan37.5?22【总结升华】本题的解答没有去就单个角求其函数值，而是将所给式子作为一个整体
变形，逐步向二倍角公式的展开形式靠近，然后逆用倍角公式，要仔细体会本题中的解题思路．
举一反三：
【变式1】求值：（1）?cos???12?sin???2?2cos?1；；（2）（3）cos?sin???812??1212????2tan75?． 2?1?tan75【答案】（1）32；（2）；（3）?3 222【解析】（1）原式=cos?12?sin2?12?cos?6?3； 2（2）原式=cos(2??8)?cos?4??2； 2??（3）原式=tan150?tan(180?30)??tan30??类型二：利用二倍角公式求非特殊角的三角函数值 例2． 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值． 【思路点拨】解这类题型有两种方法： 方法一：适用sin???3． 3sin2?，不断地使用二倍角的正弦公式．
2cos?sin2?进行化
2sin?方法二：将正弦题目中的正弦形式全部转化为余弦形式，利用cos??简．
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