问题46 数学文化
一、考情分析
2016年10月8号,教育部考试中心公布了[2016]第179号文件《关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知》,对数学增加了数学文化的要求.这一文件的公布,是从考试命题的角度第一次非常正式地明确要求要把数学文化渗透入数学试题,故从2017年开始每年全国卷中都有与数学文化有关的试题. 三、知识拓展
1.中国古代著名数学著作 (1)《张丘建算经》
《张丘建算经》共有三卷,约成书于公元466～485年间.张丘建,北魏时清河(今山东临清一带)人,生平不详.其中,最小公倍数的应用、等差数列各元素互求以及“百鸡术”等是其主要成就.“百鸡术”是世界著名的不定方程问题. （2）《四元玉鉴》
作者朱世杰（1300前后）,字汉卿,号松庭,寓居燕山.数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）.《算学启蒙》是一部通俗数学名著,曾流传海外,影响了朝鲜、日本数学的发展.
《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志,其中最杰出的数学创作有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积法”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法） （3）《黄帝九章算经细草》
作者贾宪,北宋人,约于1050年左右完成〈〈黄帝九章算经细草〉〉,原书佚失,但其主要内容被杨辉（约13世纪中）著作所抄录,因能传世.杨辉〈〈详解九章算法〉〉（1261）载有“开方作法本源”图,注明“贾宪用此术”,这就是著名的“贾宪三角”,或称“杨辉三角”.〈〈详解九章算法〉〉同时录有贾宪进行高次幂开方的“增乘开方法”. （4）《数书九章》
作者秦九韶（约1202～1261）,字道吉,四川安岳人.秦九韶与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他早年在杭州“访习于太史,又尝从隐君子受数学”,1247年写成著名的《数书九章》.《数书九章》全书共18卷,81题,分九大类（大衍、天时、田域、测望、赋役、钱谷、营建、军旅、市易）.其最重要的数学成就——“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法）,使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位.
（5）《九章算术注》,《海岛算经》,《九章重差图》
作者刘徽（约公元225年—295年）,汉族,山东邹平县人,是中国数学史上一个非常伟大的数学家,他的杰作是中国最宝贵的数学遗产,《重差》原为《九章算术注》的第十卷,即后来的《海岛算经》,内容是测量目标物的高和远的计算方法.重差法是测量数学中的重要方法.
《九章算术注》中所蕴涵的科学思想可谓极其深邃.逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现.刘徽集各家优秀思想方法,并加以创新而用于数学研究,使以《九章算术》为代表的中国传统数学发生了根本性的变化,并上升到了一个新的阶段,他是遥遥领先于中国传统数学领域的杰出代表,也堪称是世界数学泰斗. 理论体系：①在数系理论方面
用数的同类与异类阐述了通分、约分、四则运算,以及繁分数化简等的运算法则；在开方术的注释中,他从开方不尽的意义出发,论述了无理方根的存在,并引进了新数,创造了用十进分数无限逼近无理根的方法. ②在筹式演算理论方面
先给率以比较明确的定义,又以遍乘、通约、齐同等三种基本运算为基础,建立了数与式运算的统一的理论基础,他还用“率”来定义中国古代数学中的“方程”,即现代数学中线性方程组的增广矩阵. ③在勾股理论方面
逐一论证了有关勾股定理与解勾股形的计算原理,建立了相似勾股形理论,发展了勾股测量术,通过对“勾中容横”与“股中容直”之类的典型图形的论析,形成了中国特色的相似理论. ④在面积与体积理论方面
用出入相补、以盈补虚的原理及“割圆术”的极限方法提出了刘徽原理,并解决了多种几何形、几何体的面积、体积计算问题.这些方面的理论价值至今仍闪烁着余辉.
二是在继承的基础上提出了自己的创见.这方面主要体现为以下几项有代表性的创见： ①割圆术与圆周率
他在《九章算术·圆田术》注中,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法.他首先从圆内接六边形开始割圆,每次边数倍增,算到192边形的面积,得到π=157/50=3.14,又算到3072边形的面积,得到π=3927/1250=3.1416,称为“徽率”. ②刘徽原理
在《九章算术·阳马术》注中,他在用无限分割的方法解决锥体体积时,提出了关于多面体体积计算的刘徽原理.
③“牟合方盖”说
在《九章算术·开立圆术》注中,他指出了球体积公式V=9D3/16(D为球直径)的不精确性,并引入了“牟合
方盖”这一著名的几何模型.“牟合方盖”是指正方体的两个轴互相垂直的内切圆柱体的贯交部分. ④方程新术
在《九章算术·方程术》注中,他提出了解线性方程组的新方法,运用了比率算法的思想. ⑤重差术
在白撰<海岛算经>中,他提出了重差术,采用了重表、连索和累矩等测高测远方法.他还运用“类推衍化”的方法,使重差术由两次测望,发展为“三望”、“四望”.而印度在7世纪,欧洲在15～16世纪才开始研究两次测望的问题. 四、题型分析 一、数列与数学文化
【例1】【四川省凉山州2019届高中毕业班第二次诊断性检测】我们把数”（费马是十七世纪法国数学家）.设使不等式A． 【答案】B 【分析】由题意可得
，
，故
，利
B．
，
，，，表示数列
叫“费马
的前项之和，则
成立的最小正整数的值是（ ）
C．
D．
用裂项相消法可得【解析】∵∴∴
，
，
，代入选项检验即可.
而
∴
，
即
当n=8时，左边=
，
，右边=
，显然不适合；
，
当n=9时，左边=，右边=，显然适合，
故最小正整数的值9 故选：B
【点评】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： (1)（4）
；（2）
； （3）
；
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或
多项的问题，导致计算结果错误.
【牛刀小试】1.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金箠,一头粗,一头细,在粗的一端截下1尺,重4斤；在细的一端截下1尺,重2斤,问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件,若金箠由粗到细是均匀变化的,中间3尺的重量为
A. 6斤 B. 9斤 C. 10斤 D. 12斤 【答案】B
【解析】试题分析：此问题是一个等差数列
,设首项为,则
,∴中间尺的重量为
斤．故选：B．
二、立体几何与数学文化
【例2】【辽宁省大连市2019届高三下学期第一次（3月)双基测试】我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺,问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ）
A．40 【答案】C
B．43 C．46 D．47
【分析】画出几何体的直观图,利用三视图所给数据，结合梯形的面积公式,分别求解梯形的面积即可. 【解析】
由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面
，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,
梯形
的高为4 ,等腰梯形
的高为
， ,
平面，
三个梯形的面积之和为故选C.
【小试牛刀】15. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”,下底面宽
丈,长
丈,上棱
丈,
.
与平面
的距离为1丈,
问它的体积是 A. 4立方丈 B. 5立方丈 C. 6立方丈 D. 8立方丈 【答案】B
【解析】
延长EF、FE分别到H、G,且|FH|=|EG|=1,则该几何体为直三棱柱,三棱锥F-BCH的体积为
,三棱柱的体积为
2019届高三数学备考冲刺140分问题46数学文化含解析20190426255
