§2.1 数列的概念与简单表示法
教学目的：
1.通过本节学习,让学生理解数列的概念,理解数列是一种特殊函数,把数列融于函数之中; 2.了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项,对于比较简单的数列,会根据前几项写出它的通项公式;
3.理解递推公式的意思,能类比函数画出数列通项公式的图象; 4.理解通项公式与递推公式的异同;
5.通过探究、思考、交流、实验、观察、分析等教学方式,充分发挥学生的主体作用,并通过日常生活重的大量实例,鼓励学生动手试验,大胆猜想,培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度;
6.通过本节章头图的学习,体会数学来源于生活,理解大自然的丰富多彩,感受“大自然是懂数学的”,从而提高学生学习数学的兴趣. 教学重点：
1.理解数列及其有关概念;
2.了解数列的通项公式和递推公式的意义,并能根据通项公式或递推公式写出数列的前几项; 3.了解数列和函数之间的关系. 教学难点：
1.根据数列的前几项,归纳出数列的通项公式; 2.理解递推公式和通项公式的关系; 3.数列的递推公式及其应用的处理技巧. 教学过程： 一、引入新课： 创设情景
引导学生阅读章头图几文字说明,“有人说,大自然是懂数学的”“树木的分叉、花瓣的数量、植物的种子或树木的排列……都遵循了某种数学规律”,那么大自然是怎么懂数学的?都遵循了什么样的规律?真是神奇而又奥妙.插图右侧是四种不同类型的花瓣,其花瓣树木分别是3,5,8,13,你看出这几个数字的特点了吗?前两个之和恰好等于后一个,你说奇妙不奇妙?这种规律就是我们将要学习的数列. 引例
1.国际象棋中的每个格子中一次放入这样的麦粒数排成一列数
1,2,22,23,24,?,263
2.某班学生的学号由小到大排成一列数
1,2,3,4,?,45
3.1984年至2008年,我国奥运健儿在历次奥运会上获得的金牌数排成一列数
15,5,16,16,28,32,51
像上面这些例子中,按一定次序排成的一列数,它们有什么共同特点? 共同特点:
(1)每一项都是一个数;
1
(2)这些数在排列上按一定顺序来.
二、讲解新课： 1.数列的概念
按一定顺序排列的一列数叫做数列,数列中的每一个数叫做数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项,通常也叫做首项,排在第二位的数称为这个数列的第2项,…,排在第n位的数称为这个数列的第n项.
注: 从数列定义可以看出,数列的数是按一定次序排列的,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那
么他们就不是同一数列,显然数列和数集有本质的区别.
2.数列的记法
数列的一般形式可以写成:a1,a2,?,an,?,可简记为{an}.其中an是数列的第n项.
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an?f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
注: (1)一个数列的通项公式有时不唯一. 如1,0,1,0,1,0,1,0,?,
n?11?(?1)n?1?|. 它的通项公式可以是an?,也可以是an?|cos22 (2)通项公式的作用:①求数列中的任意一项;
②检验某数是不是该数列中的项,并确定是第几项.
4.数列的本质
从函数的观点看,数列可以看作一个定义域是正整数集N(或它的子集{1,2,3,?,n})的函数.当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立点.由于函数有三种表示法,所以数列也有三种表示法:列表法、图象法和通项公式法.通常用通项公式法表示数列. 5.数列的分类
(1)按数列的项数是否有限,分为有穷数列和无穷数列. 项数有限的数列叫做有穷数列;
项数无限的数列叫做无穷数列.
(2)按数列的每一项随序号的变化趋势,分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列. 一个数列从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列; 一个数列从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列; 各项相等的数列叫做常数列;
一个数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列. 6.递推公式
已知数列的第一项(或前几项),且任一项an与它前一项an?1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,这个公式叫做数列的递推公式.
注:已知数列的递推公式时,采用逐次代值法,可以求出数列的其它项值.
2
*三、讲解范例：
例1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:
111,,?; (2)2,0,2,0. 23422?132?142?152?1,,, (3)1,3,5,7 (4) 2345n?1(?1)n?1?| 解: (1)an? (2)an?2|cos2n(n?1)2?1(3)an?2n?1 (4)an?
n?1 (1)1,?
类型题: 根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式.
23456,,?,,?? 38152435,? (4)?1,7,?13,19,?25,31,? (3)7,77,777,7777 (1)1,0,1,0,? (2)? (5)1,3,3,5,5,7,7,9,9,? (6)1,3,7,15,?
,? (7)2,?6,12,?20,30,?42,? (8)0.9,0.99,0.999,0.99991416246810,3,,? (10),,,,,? 3333153563991?(?1)n?1n?1n答案: (1)an? (2)an?(?1)? 22(n?1)?17n (3)an?(10?1) (4)an?(?1)n(6n?5)
91?(?1)n (5)an?n? (6)an?2n?1
21 (7)an?(?1)n?1n(n?1) (8)an?1?n
10n22n (9)an? (10)an?
3(2n?1)(2n?1) (9),
点评: 这种由“数”给出数列的“式”的题目,解决的关键是找出这个数列呈现的规律性的东西,然后在
通过归纳给出这个数列的通项公式.但是学生应该注意到,数列的通项公式并不是唯一的.常用下列手段来解决这类问题: ①用(?1)和(?1)nn?1来调整符号;
②各项均化为分数,平方数,指数,对数及同类式子再找规律;
11?(?1)n?1n(n?1)2n},{} ③借助一些特殊的数列:{},{n},{2n?1},{a},{n22④有些数列的通项公式可以用分段的形式来表示.
例2 根据下面数列{an}的通项公式,写出前5项.
3
(1)an?解: 略
n (2)an?(?1)n?n (3)an?2 n?1
例3 在数列{an}中,a1?3,a10?21,通项公式是项数的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式,并求a2008; (2)若bn?a2n,求数列{bn}的通项公式. 解: 略
例4 已知数列{an}的通项公式为an??2n2?9n?3. (1)试问2是否是数列{an}中的项? (2)求数列{an}的最大项; (3)若an?0,求n. 解: 略
例5 已知数列1,2,7513,,,? 325 (1)写出这个数列的一个通项公式an; (2)根据an判断数列{an}的增减性和有界性. 解: (1)an?3n?2 n2222)?(3?)???0 n?1nnn?1 (2)因为an?1?an?(3? 所以数列{an}是递增数列 又因为0?an?3?2?3 n 所以数列{an}是有界数列.
例6 已知数列{an}的首项a1?1,且an?1?解: 略
例7 (1)已知数列{an}的首项a1?2,且an?1?an?4(n?1),试写出这个数列的前4项,并归纳出通项
公式.
(2)在数列{an}中,a1?0,an?1?an?(2n?1)(n?N),试写出这个数列的前4项,并归纳出通
项公式.
解: 略
例8 设数列{an}是以1为首项的正数列,且(n?1)an?1?nan?an?1an?0(n?N),求数列{an}的通
项公式. 解: 略
4
228*1(n?1),写出这个数列的前5项. an?1
类型题1: 已知数列{an}满足a1?2,an?1?2an,写出前5项,并猜想an. 类型题2: 已知数列{an}满足a1?2,an?1?类型题3: 已知数列{an}满足a1?3,an?12an,写出前5项,并猜想an.
an?2?3an?2,写出前5项,并猜想an.
例9 已知数列{an}的递推公式是an?2?3an?1?2an,且a1?1,a2?3.求: (1)a5; (2)127是这个数列中的第几项?
例10 若记数列{an}的前n项和为Sn,试证明an??证明: 略
变式题1: 已知数列{an}的前n项和为Sn?2n2?n,求an. 变式题2: 已知数列{an}的前n项和为Sn?n2?n?1,求an. 变式题3: 已知数列{an}的前n项和为Sn?2n?1,求an.
例11 如图中的三角形成为谢宾斯基(Sierpinski)三角形.在下图四个三角形中,着色三角形的个数依次
构成一个数列的前4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标系中画出它的图象.(P30 例2)
解: 略 例12 如图是第七届国际数学教育大会的会徽,
会徽的主体
图案是由如图所示的一连串直角三角形演化而成,其中OA1?A1A2?A2A3???A7A8?1, 记OA1,OA2,OA3,?,OA7,OA8的长度所在的数列为{ln}(n?N,1?n?8) (1)写出数列的前4项;
(2)写出数列{ln}的一个递推关系式; (3)求{ln}的通项公式;
(4)如果把图中的三角形继续做下去,那么OA9,OA2008的长度分别为多少? 解: 略
5
*?Sn?Sn?1?S1n?1n?1.
人教版高中数学必修5第二章数列-《2.1数列的概念与简单表示法》教案(3)
