函数的基本性质
基础知识：
1.奇偶性
（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：
若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数； 若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数。 （3）简单性质：
①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称；
②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1,D2，那么在它们的公共定义域上：
奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2.单调性
（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1 （2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 （3）设复合函数y= f[g(x)]，其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g : x→u=g(x) 的象集： ①若u=g(x) 在 A上是增（或减）函数，y= f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y= f[g(x)] 在A上是增函数； ②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y= f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y= f[g(x)]在A上是减函数。 （4）判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ①任取x1，x2∈D，且x1 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反； ③在公共定义域内： 增函数f(x)?增函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?减函数g(x)是减函数； 增函数f(x)?减函数g(x)是增函数； 减函数f(x)?增函数g(x)是减函数。 ④若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a)；若函数y?f(x?a)是偶函数，则f(x?a)?f(?x?a). 3.函数的周期性 如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期. 性质： ①如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期. ②若周期函数f(x)的周期为T，则f(?x)（??0）是周期函数，且周期为 T|?|。 ③若f(x)??f(?x?a),则函数y?f(x)的图象关于点(,0)对称; 若 a2f(x)??f(x?a),则函数y?f(x)为周期为2a的周期函数. 例题： 1.y?1?x2的递减区间是 ；y?log1(?x?3x?2)的单调递增区间是 。 1?x22.函数f(x)?lg(2?1)的图象（ ） 1?xA.关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y?x对称 3.设f(x)是定义在R上的奇函数，若当x?0时，f(x)?log3(1?x)，则f(?2)? 。 4.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x?2)?f(x?2)，若f(x)在[?2,0]上递增，则（ ） A.f(1)?f(5.5) B．f(1)?f(5.5) C．f(1)?f(5.5) D．以上都不对 5.讨论函数f(x)?x?1的单调性。 x6.已知奇函数f(x)是定义在(?2,2)上的减函数,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求实数m 的取值范围。 7.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)?f(x?1)?f(x?1)。若 f(0)?2004，求f(2004)。 习题： 题型一：判断函数的奇偶性 1.以下函数：（1）y?1(x?0)；（2）y?x?1；（3）y?2；（4）y?log2x；（5） x4x1?x2；其中奇函数是 ，偶函数是 ，y?log2(x?x?1)，(6)f(x)?x?2?22非奇非偶函数是 。 2.已知函数f(x)=x?1?x?1,那么f(x)是( ) A.奇函数而非偶函数 B. 偶函数而非奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既非奇函数也非偶函数 题型二：奇偶性的应用 1.已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(-4,4),它们在??4,0?上的图像分别如 图（2-3）所示，则关于x的不等式f(x)?g(x)?0的解集是_____________________。 yy-4-20x-4-20y=g(x)xy=f(x)图(2-3) 2.已知f(x)?ax7?bx5?cx3?dx?5，其中a,b,c,d为常数，若f(?7)??7，则f(7)?____ 3.下列函数既是奇函数，又在区间??1,1?上单调递减的是（ ） A.f(x)?sinx B.f(x)??x?1 C.f(x)?1x2?x a?a?x? D.f(x)?ln?22?x24.已知函数y?f(x)在R是奇函数，且当x?0时，f(x)?x?2x，则x?0时，f(x)的 解析式为 。 5.若f?x?是偶函数,且当x??0,???时, f?x??x?1,则f?x?1??0的解集是（ ） A.x?1?x?0 B. xx?0或1?x?2 C. x0?x?2 D. x1?x?2 题型三：判断证明函数的单调性 ????????1.判断并证明f(x)?22在(0,??)上的单调性 x?12.判断f(x)??2x?2x?1在(??,0)上的单调性 题型四：函数的单调区间 21.求函数y?log0.7(x?3x?2)的单调区间。 2.下列函数中，在(??,0)上为增函数的是（ ） A.y?x?4x?8 B.y?ax?3(a?0) C.y??22 D.y?log1(?x) x?123.函数f(x)?x? A.?0,1的一个单调递增区间是（ ） x1? D.?1,??? ??? B.???,0? C.?0,4.下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( ) A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=5.函数y=5?4x?x2的递增区间是( ) A.(-∞，-2) B.[-5，-2] C.[-2，1] D.[1，+∞) 题型五：单调性的应用 1.函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，那么实数a的取值范围是( ) A.[3，+∞ ) B.(-∞，-3] C.{-3} D.(-∞，5] 2.已知函数f(x)=2x-mx+3，当x∈(-2，+∞)时是增函数，当x∈(-∞，-2)时是减函数，则f(1)等于( ) A.-3 B.13 C.7 D.由m而决定的常数． 2 2 42 D.y=x-4x+3 x3.若函数f(x)?x3?ax2?bx?7在R上单调递增，则实数a, b一定满足的条件是（ ） A．a?3b?0 B.a?3b?0 22C．a?3b?0 2D．a?3b?1 24.函数f(x)?3ax?2b?2?a,x?[?1,1],若f(x)?1恒成立，则b的最小值为 。 5.已知偶函数f(x)在(0，+∞)上为增函数，且f(2)=0，解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0。 题型六：周期问题 1.奇函数f(x)以3为最小正周期，f(1)?3，则f(47)为( ) A.3 B.6 C.-3 D.-6 2.设f(x)是定义在R上以6为周期的函数，f(x)在(0,3)内单调递增，且y=f(x)的图象关于直线x =3对称，则下面正确的结论是( ) A.f(1.5) 3.已知f?x?为偶函数,且f?2?x??f?2?x?,当?2?x?0时,f?x??2,则f?2006??x（ ） A．2006 B．4 C．?4 D． 1 44.设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1时，f(x)?x，则f(47.5)等于_____ 5.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期. 6、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(m＋x)＝f(m－x)，且f(x)是偶函数, 求证:2m是f(x)的一个周期. 7、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－1)＝3，对任意的x∈R，均有f(x＋4)＝f(x)＋f⑵，求f(2001)的值.
函数的基本性质知识点总结
