2016考研数学二真题及解析

2016考研数学二真题及解析

2016年考研数学二真题及解析

一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上. ．．．(1) 设a1?x(cosx?1),a2?xln(1?3x),a3?3x?1?1.当x?0?时,以上3个无穷小

量按照从低阶到高阶的排序是( )

(A)a1,a2,a3. (B)a2,a3,a1. (C)a2,a1,a3. (D)a3,a2,a1. 【答】应选B

11【解】a1~?x2，a2~x6，a3~x，则a1,a2,a3从低阶到高阶排列应为a2,a3,a1。

23(2) 已知函数f(x)??5?2(x?1),x?1,则f(x)的一个原函数是 x1,?lnx,?(x?1)2,x?1?(x?1)2,x?1(A)F(x)??(B)F(x)??

?x(lnx?1),x1 ?x(lnx?1)?1,x1?(x?1)2,?(x?1)2,x?1x?1(C)F(x)??(D)F(x)???x(lnx?1)?1,x1 ?x(lnx?1)?1,x1

【答】应选D.

【解】由于原函数一定是连续，可知函数F?x?在x?1连续，而?A?、?B?、?C?中的函数在x?1处均不连续,故选D.

+?11xedx②(3) 反常积分①?，?0x2exdx的敛散性为 ??x2011（A）①收敛，②收敛. （B）①收敛，②发散. （C）①收敛，②收敛. （D）①收敛，②发散. 【答】应选B.

1xedx??ex【解】?2??x0110???1,故?1?收敛.

1x???01xedx??ex2x11??0，由于lime???，故?2?发散.

?x?02016考研数学二真题及解析

(4) 设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则( )

（A）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点. （B）函数f(x)有2个极值点，曲线y?f(x)有3个拐点. （C）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有1个拐点. （D）函数f(x)有3个极值点，曲线y?f(x)有2个拐点.

【答】应选（B） 【解】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.

(5) 设函数fi(x)(i?1,2)具有二阶连续导数，且fi??(x0)?0(i?1,2)，若两条曲线

y?fi(x)(i?1,2)在点(x0,y0)处具有公切线y?g(x)，且在该点处曲线y?f1(x)的

曲率大于曲线y?f2(x)的曲率，则在x0的某个领域内，有 （A）f1(x)f2(x)g(x) （B）f2(x)f1(x)g(x) （C）f1(x)g(x)f2(x) （D）f2(x)g(x)f1(x)【答】应选A

【解】 由于fi(x)?0可知，f1(x)与f2(x)均为凸函数，可知y?f1(x)，y?f2(x)的图像均在其切线下方，故

?f1(x),f2(x)?g(x)，由曲率公式

，由k1?k2可知，f1(x0)?f2(x0)，则

k1???f1(x)?1?(f?(x))2?1????32,k2???f2(x)?1?(f?(x))2?2????32??f1(x)?f2(x).

ex(6) 已知函数f(x,y)?，则

x?y（A）fx??fy??0

（B）fx??fy??0

2016考研数学二真题及解析

（C）fx??fy??f【答】应选(D)

（D）fx??fy??f

exexex【解】fx???,fy??,fx??fy??f. 22x?y?x?y??x?y?(7) 设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是 （A）AT与BT相似 （B）A?1与B?1相似 （C）A?AT与B?BT相似 （D）A?A?1与B?B?1相似 【答】应选(C).

【解】因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得PAP?B,两端取转置与逆可得：

?1PTAT?PT??BT,P?1A?1P?B?1,P?1?A?A?1?P?B?B?1,可知?A?、?B?、?D?均正

?1确,故选择?C?.

222(8) 设二次型f(x1,x2,x3)?a(x1?x2?x3)?2x1x2?2x1x3?2x2x3的正、负惯性指数分别

为1,2，则

（A）a?1 （B）a??2

（C）?2?a?1 （D）a?1与a??2 【答】应选(C)

?a11???【解】二次型矩阵为?1a1?，其特征值为a?1,a?1,a?2，可知a?1?0,a?2?0，

?11a???即?2?a?1，故选择(C)

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸指定位置上.

x3?arctan(1?x2)的斜渐近线方程为 . (9) 曲线y?21?x【答】应填y?x?【解】由lim?2.

n??y?1知k?1,又xx3?x?22limy?x?lim(?arctan(1?x)?x)?lim?limarctan(1?x)?n??n??1?x2n??1?x2n??2