吉林建筑大学
电气与电子信息工程学院
信息理论与编码课程设计报告
设计题目：线性分组码编码的分析与实现 专业班级： 电子信息工程 111 学生姓名： 学 号： 指导教师： 设计时间： 2014.11.24－2014.12.5
教师评语： 成绩 评阅教师 日期
第1章 概述
1.1设计的作用、目的
1、通过完成具体编码算法的程序设计和调试工作，提高编程能力，深刻理解信源编码、信道编译码的基本思想。
2、加深对理论知识的理解，提高实践技能，培养独立分析问题及解决问题的能力。
3、掌握编码的基本原理与编码过程，增强逻辑思维能力。 4、使用MATLABH或其他语言进行编程及实现。
1.2设计任务及要求
设计一个（7,3）线性分组码的编译码程序，完成对任意序列的编码，根据生成矩阵形成监督矩阵，得到伴随式下，并根据其进行译码，同时验证工作的正确性，最基本的是要具备对输入的信息码进行编码，让它具有抗干扰的能力。
1. 理解无失真信源编码的理论基础，掌握无失真信源编码的基本方法； 2. 掌握哈夫曼编码/费诺编码方法的基本步骤及优缺点；
3. 深刻理解信道编码的基本思想与目的，理解线性分组码的基本原理与编 码过程
4. 能够使用MATLAB或其他语言进行编程，编写的函数要有通用性。
1.3设计内容
已知一个（7,3）线性分组码的校验元与信息元有如下限定关系。设码字为(c1,c2, c3, c4, c5, c6,c7)
?c4?c1?c3?c?5?c1?c2?c3 ?
ccc??21?6??c7?c2?c3求出标准校验矩阵、Q矩阵、标准生成矩阵，完成对任意信息序列（23个许用码字）的编码。
当接收码字分别为(0000000), (0000001), (0000010), (0000100), (0001000), (0010000), (0100000), (1000000), (0100100)时，写出其伴随式S，以表格形式写出伴随式与错误图样E的对应关系，纠错并正确译码，当有两位错码时，假定为c5位和c2位发生错误。
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第2章 线性分组码编码分析与实现
2.1设计原理
1. 线性分组码的生成矩阵和校验矩阵
（1）（n，k）线性分组码的性质
1、封闭性。任意两个码组的和还是许用的码组。 2、码的最小距离等于非零码的最小码重。
对于长度为n的二进制线性分组码，它有种2n可能的码组，从2n种码组中，可以选择M=2k个码组（k 对于码组长度为n、信息码元为k位、监督码元为r＝n－k位的分组码，常记作（n，k）码，如果满足2r－1≥n，则有可能构造出纠正一位或一位以上错误的线性码。 （2）生成矩阵和校验矩阵 线性分组码码空间C是由k个线性无关的基底gk?1，…g1g0，张成的k维n重子空间，码空间的所有元素(即码字)都可以写成k个基底的线性组合，即 C?m?k?1k?1g ?mg?mg 110这种线性组合特性正是线性分组码名称的来历。显然，研究线性分组的关键是研究基底、子空间和映射规则，可把子空间和映射关系画成如图一所示的图形。 图2.1 码空间与映射 k维k重信组空间m n维n重空间Vn k维k重码空间c n-k维n重对偶空间D G H 2 用gi表示第i个基底并写成1?n矩阵形式gi?gi(n?1),gi(n?2),?,gi1,gi0再将k个基底排列成k行n列的G矩阵，得： ?g(k?1)(n?1)?,g1,g0????g1(n?1)???g0(n?1)g(k?1)1g11g01g(k?1)0??? g10??g00???? G??gk?1,由于k个基底即G的k个行矢量线性无关，矩阵G的秩一定等于k，当信息元确定后，码字仅由G矩阵决定，因此称这k?n矩阵G为该?n?k?线性分组码的生成矩阵。 基底不是唯一的，生成矩阵也就不是唯一的。事实上，将k个基底线性组合后产生另一组k个矢量，只要满足线性无关的条件，依然可以作为基底张成一个码空间。不同的基地有可能生成同一个码集，但因编码涉及码集和映射两个因素，码集一样而映射方法不同也不能说是同样的码。 基底的线性组合等效于生成矩阵G的行运算，可以产生一组新的基底。利用这点可使生成矩阵具有如下的“系统形式”： ?1?0 G??Ik?P???????00?0?1?0?????001?p(k?1)(n?k?1)?p1(n?k?1)p0(n?k?1)?p(k?1)1???p11?p01p(k?1)0???? p10??p00?这里P是k??n?k?矩阵；Ik是k?k单位矩阵，从而保证了矩阵的秩是K。 与任何一个?n,k?分组线性码的码空间C相对应，一定存在一个对偶空间D。事实上，码空间基底数k只是n维n重空间全部n个基底的一部分，若能找出另外n?k个基底，也就找到了对偶空间D。既然用k个基底能产生一个?n,k?分组线性码，那么也就能用n?k个基底产生包含2n?k个码字的?n,n?k?分组线性码， 称?n,n?k?码是?n,k?码的对偶码。将D空间的n?k个基底排列起来可构成一个 ?n?k??n矩阵，将这个矩阵称为码空间C的校验矩阵H，而它正是?n,n?k?对偶 码的生成矩阵，它的每一行是对偶码的一个码字。C和D的对偶是互相的，G是 C的生成矩阵又是D的校验矩阵，而H是D的生成矩阵，又是C的校验矩阵。 3 由于C的基底和D的基底正交，空间C和空间D也正交，它们互为零空间。因此，?n,k?线性码的任意码字c一定正交于其对偶码的任意一个码字，也必定正交于校验矩阵H的任意一个行矢量，即cHT?0。由于生成矩阵的每个行矢量都是一个码字，因此必有GHT?0。对于生成矩阵符合“系统形式”G的系统码，其校验矩阵也是规则的，必为： H??PT?In?k 上式中的负号在二进制码情况下可以省略，因为模2减法和模2加法是等同的。 （3）信息码元及对应码字的关系 （n，k）码字中的任一码字ci，均可以由这组基底的线性组合生成，即 ??ci?miG?mn?1mn?2式中mi??mn?1mn?2mn?k?G mn?k?的是k个信息元组的信息组，因此其信息码元及 对应码字的关系如表一所示： 表2.1 信息码元及对应码字关系 信息组 000 001 010 011 100 101 110 111 码字 0000000 0011101 0100111 0111010 1001110 1010011 1101001 1110100 2. 线性分组码的伴随式与译码 （1）码的距离及检错能力 两个码字之间，对应位取之不同的个数，称为汉明距离，用d表示。一个码 ),两个码字之间的距离的最小距离dmin定义为dmin?min?d(ci,cj),j?j,ci,cj?(n,k?表示了它们之间差别的大小。距离越大，两个码字的差别越大，则传送时从一个 4
线性分组码编码分析与实现
