排列与组合
一、教学目标
1、知识传授目标 ： 正确理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培养目标 ： 能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 发展学生的思维能3、思想教育目标 ： 力，培养学生分析问题和解决问题的 乘法原理。 解决方法：利用
能力
二、教材分析
简单的举例得到一般的结
1.重点 ：加法原理， 乘法原理的区分。解决方法：运用对比的方法比较它们
论．
2.难点 ：加法原理，
三、活动设计
1. 活动 ：思考，讨论，对比，练习． 的异同．
2. 教具 ：多媒体课件． 四、教学过程正
1．新课导入 随着社会发展，先进技术，使得各种问题解决方法多样化，高标准严要求，
使得商品生产工序复杂化， 解决一件事常常有多种方法完成， 或几个过程才能完 成。 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题，而排列、组合的基础就是基本 原理，用好基本原理是排列组合的关键．
2．新课 我们先看下面两个问题．
(l) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中， 火车有 4 班，汽车有 2 班，轮船有 3 班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到 乙地共有多少种不同的
走法？
因为一天中乘火车有 4 种走法，乘汽车有 2种走法，乘轮船有 3 种走法，每 一种走法都可以从甲地到达乙地， 因此，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地 共有 4 十 2 十 3=9 种不同的走法．
一般地，有如下原理：
加法原理：做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m1 种 不同的方
法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法， ,, ，在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N= mi十m2十,十 mn种不同的方法.
(2) 我们再看下面的问题：
由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2 条.从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法？
这里，从A村到B村有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达 B村后，再从
B村到C村又有2种不同的走法.因此，从 A村经B村去C村共有 3X2=6种不同的走法.
一般地，有如下原理：
乘法原理：做一件事，完成它需要分成 n个步骤，做第一步有 m种不同的 方法，做第二步有 m种不同的方法，,,，做第 n步有m种不同的方法.那么 完成这件事共有N= m m2, m种不同的方法.
例 1 书架上层放有 6本不同的数学书，下层放有 5 本不同的语文书.
1 ）从中任取一本，有多少种不同的取法？
2 ）从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？ 解：（1）从书架上任取一本书， 有两类办法： 第一类办法是从上层取数学书， 可以从 6本书中任取一本， 有 6种方法；第二类办法是从下层取语文书， 可以从 5 本书中任取一本，有 5 种方法．根据加法原理，得到不同的取法的种数是 6 十 5=11．
答：从书架 L 任取一本书，有 11 种不同的取法． （2）从书架上任取数学书与语文书各一本，可以分成两个步骤完成：第一 步取一本数学书， 有 6 种方法； 第二步取一本语文书， 有 5 种方法． 根据乘法原 理，得到不同的取法的种数是 N = 6X5= 30.
答：从书架上取数学书与语文书各一本，有 30 种不同的方法．
练习： 一同学有 4枚明朝不同古币和 6枚清朝不同古币 1）从中任取一枚，有多少种不同取法？ 2 ）从中任取明清古币各一枚， 有多少种不同取法？
例 2：（1） 由数字 l， 2， 3， 4， 5可以组成多少个数字允许重复三位数？
（2） 由数字 l ， 2， 3， 4， 5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？
（3） 由数字 0， l ， 2， 3， 4， 5 可以组成多少个数字不允许重复三位数？
解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数 字，从 5
个数字中任选一个数字， 共有 5 种选法；第二步确定十位上的数字， 由 于数字允许重复，
这仍有 5种选法， 第三步确定个位上的数字， 同理， 它也有 5种选法. 根据 乘法原理，得到可以组成的三位数的个数是 N=5X5X5=12.5
答：可以组成 125 个三位数.
练习：
1. 从甲地到乙地有 2条陆路可走，从乙地到丙地有 3条陆路可走，又从甲 地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走.
（1） 从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法？ （2） 从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
2. —名儿童做加法游戏.在一个红口袋中装着 20张分别标有数1、2、，、
19、20 的红卡片，从中任抽一张，把上面的数作为被加数；在另一个黄口袋中 装着 10张分别标有数 1、 2、 ,、 9、 10的黄卡片，从中任抽一张，把上面的数
作为加数.这名儿童一共可以列出多少个加法式子？
3. 题 2 的变形
4. 由 0－9 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？ 小结：要解决某个此
类问题， 首先要判断是分类， 还是分步？分类时用加法， 分 步时用乘法
其次要注意怎样分类和分步，以后会进一步学习
练习
1. （口答）一件工作可以用两种方法完成.有 5 人会用第一种方法完成， 另有 4 人会用
第二种方法完成. 选出一个人来完成这件工作， 共有多少种选法？
2. 在读书活动中，一个学生要从 2 本科技书、 2 本政治书、 3 本文艺书 里任选一本，
共有多少种不同的选法？
3. 乘积（a1+a2+a3） （b1+b2+b3+b4） （c1+c2+c3+c4+c5）展开后共有多少项？ 4. 从甲地到乙地有 2 条路可通，从乙地到丙地有 3条路可通；从甲地到丁
地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通.从甲地到丙地共有多少种不同的 走法？
5. —个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有 4个小球，所有这些小球 的颜色互不
相同.
(1从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？
(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？ 作业： 排列
【复习基本原理】
1. 加法原理
事共有
做一件事，完成它可以有n类办法，第一类办法中有mi种不
同的方法，第二办法中有m?种不同的方法,,，第n办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件
N=m1+m2+m3+, mh
种不同的方法.
2. 乘法原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一 步有mi种不 同的方法，做第二步有rn∣2种不同的方法，，，， 做第n步有mn种不同的方法，■ 那么完成这件事共有
N=m^m^×m^, Xmn 种不同的方法.
3. 两个原理的区别： 【练习1】
1. 北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线， 需要准备多少种不同的机
票？
2. 由数字1、2、3可以组成多少个无重复数字的二位数？请——列出 . 【基本概念】 1. 什么叫排列？从n个不同元素中，任取m(m n )个元素(这里的被取元 素各不相同)按照
一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同 3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列. 4. 什么叫一个排列？
【例题与练习】
1. 由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？
2. 已知a、b、c、d四个元素，①写出每次取出3个元素的所有排列；②写 出每次取出4个元素的所有排列.
【排列数】
1. 定义：从n个不同元素中，任取m(^n)个元素的所有排列的个数叫做 从n个元素中取
出m元素的排列数，用符号Pm表示.
用符号表示上述各题中的排列数.
2. 排列数公式：P= n(n-1)(n-2)
m
, (n-m+1)
1 2 3 Pn= ----------- ； Pn= --------------------- ； Pn= ----------------------------- ；
计算:
2
P5 = ___________________________ 4
P5 = ___________________________
2
Pl5 = ______________________
【课后检测】
1. 写出:
① 从五个元素a、b、c、d、e中任意取出两个、三个元素的所有排列; ② 由1、2、3、4组成的无重复数字的所有3位数. ③ 由0、1、2、3组成的无重复数字的所有3位数.
2. 计算：
① P1OO
② P6 ③ P： - 2 P：
P
课题：排列的简单应用（1） 列数公式计算和解决简单的实际问题.
过程：
一、复习：（引导学生对上节课所学知识进行复习整理）
127 P 12
8
目的：进一步掌握排列、排列数的概念以及排列数的两个计算公式， 会用排
1 ?排列的定义，理解排列定义需要注意的几点问题； 2.排列数的定义，排列数的计算公式
Am =n（n「1）（ n「2）…（n「m ■ 1）或 Am
（其中 m≤ n m,n? Z）
（n _ m）!
3. 全排列、阶乘的意义；规定 0!=1
4?“分类”、“分步”思想在排列问题中的应用.
二、新授：
例1:⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法?
解：问题可以看作：
7个元素的全排列—— A； = 5040
⑵7位同学站成两排（前3后4）,共有多少种不同的排法？ 解：根据分步计数原理：7×
6× 5× 4× 3× 2× 1 = 7!= 5040
⑶7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
解：问题可以看作：余下的6个元素的全排列一一A66 =720
⑷7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？
解：根据分步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有A；种；第二步 余下的
5名同学进行全排列有AJ种 贝快有A； A； =240种排列方法
⑸7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种?
解法一（直接法）：第一步 从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位 同学站在排头
和排尾有A；种方法；第二步 从余下的5位同学中选5位进行排列
（全排列）有A：种方法 所以一共有A； A； = 2400种排列方法.
解法二：（排除法）若甲站在排头有 A：种方法；若乙站在排尾有 A：种方
法；若甲站在排头且乙站在排尾则有 A：种方法?所以甲不能站在排头，乙不能 排在排尾的排法共有A - 2 A： + AJ =2400种.
小结一：对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”， 对某些特
殊兀素可以优先考虑.
例2 :
7
7位同学站成一排.
⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同 学）一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A； 种方法.所以这样的排法一共有 A： A22 = 1440
⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？ 解：方法同上，一共有A{A = 720种.
⑶甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？ 解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有
3
6
个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元 素放在排头和排尾，有A；种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A：种方法； 最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 AI种方法.所以这样的排法一共有
A A
： A2 = 960种方法.
解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有
6个元
素，若丙站在排头或排尾有 2 A：种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有
（AJ -2A；） A； = 960 种方法.
解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6个元 素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有 A
：
1
种方 法，再将其余的5个元素
进行全排列共有A；种方法，最后将甲、乙两同学“松 绑”，所以这样的排法一共有A
： A
J
高中数学《排列组合》教案
