1995年上海市高中数学竞赛试题
一、填空题
11
1．设f(x)是二次函数，对一切x都有f(1?x)=f(x)，且f(x)的最大值是，f(0)=，则该二次函数
24
的解析式是f(x)=_____．
2．函数y=f(x)的反函数是g(x)=logsinθ(x+cot2θ)(0<θ<
π2
)，则方程f(x)=1的解是_____．
11
3．若虚数z使2z+为实数，则2z+的取值范围是_____．
zz
4．由曲线y=1995sin
x
(π≤x≤5π)与直线y=1995围成的图形的面积是_____．2
91745
5．以两坐标轴为对称轴的二次曲线经过(5,)和(,)两点，它的离心率e=_____．
428
6．在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1的相邻两个面上有两个正四棱锥V1?A1B1C1D1和V2?BB1C1C
（V1、V2都在正方体的外部），且这两个正四棱锥的侧面都是正三角形，则∠V1B1V2的大小是_____（用
E是棱AB的中点，F在棱CD上，正四面体ABCD的棱长是16，若CF=5，则线段EF的长等于_____．7．
橙子奥数工作室防盗暗记．设a、b、c为正常数，x、y、z为实数，且满足|x|≤a，|y|≤b，|z|≤c，8．
则(x+y+z)(a2?x2+b2?y2+c2?z2)的最大值是_____．
反三角函数表示）．
9．数列{6n?2}中依次取出所有能够被11整除的项组成数列{an}，其通项公式an=_____．
10．圆周上有6个点，连接其中的每两点得到许多条弦，这些弦可以相交成许多个三角形（有的三角形
的顶点在圆内），则最多可以得到_____个三角形．
二、求最大的常数k，使得对于[0,1]中的一切实数a,b,c,d都有不等式 4+a2b+b2c+c2d+d2a≥k(a3+b3+c3+d3)．
三、求所有的有序实数对（a,b,c），使得对任意三个整数x、y、z都有
|ax+by+cz|+|bx+cy+az|+|cx+ay+bz|=|x|+|y|+|z|．四、对于（0,1）内的某个有理数
qpq
（p、q为互质的整数），作两个整数，；由这两个数，pp+qp+q
p+qpp+qq
还可以按照上面的方法作出4个数：，，，；从这4个数有可以按照上面的
2p+q2p+qp+2qp+2q
方法作出8个数；…，求一切．p/q在内）
简略答案：一、1．?x2+x+
pp
，使得从出发，用上述方法可以作出所有（0，1）内的有理数（包括qq
151?227980π 5． 6．（?22，22） 2．x=?2 3． 4． arccos
444
1
7．137 8．(a+b+c)2 9．610n?1?2 10．111 二、2 三、共六组（±1，0，0）、（0，±1，0）、
2
（0，0，±1） 四、1/2
1994年上海市高中数学竞赛试题
第一试
1．设f(x)是一个函数，且对一切实数t，f(2t+1)=4t2+2t?6，则f(x)=0的根是_____．2．设q=
x
是某一个无穷等比数列的公比，且这个无穷等比数列各项的和存在，则实数x的取值范围1+x
是__________．
，两直线l1：x = 3，l2：x = 13，则通过P点且与l1、l2都相切的圆方程是_____．3．已知点P（4，2）
11
4．已知关于x的不等式ax2 + bx + c < 0的解集为(?∞,?)∪(?,+∞)，则不等式cx2 + bx + a < 0的解集
23
为__________．
1cm、2cm和3cm，则它到第5．在一个棱长为56cm的正四面体内有一点P，它在三个面的距离分别是四个面的距离为_____cm．
tan(α+1°)
的值是_____．
tan(α?1°)
6．已知5sin2α=sin2°，则
的一个最大值点和一个最小值点（本题中，若x = x0
2r时，f(x)取得最大值M，则（x0，M）称为最大值点；最小值点类同）则正数r的取值范围为__________．
7．若圆x2 + y2 = r2至少盖住函数f(x)=30?sinπx
8．用列举法写出使z+
1
等于某个整数的一切虚数z所构成的集合为_______________．z
9．函数y=1994?x+x?1993的值域是_____．10．函数y=sinxcosx?sinx?cosx+1的值域是_____．
11．设复数z1、z2满足z2=z1i?2，而z1在复平面内的对应点z1在曲线|z?2|+|z+2|=10上运动，则z2在复平面内的对应点z2的轨迹方程是__________．（在复平面原有的直角坐标系中，用普通方程表示）
?x2+y2?4x?6y+4≤0
的点（x，y）所构成的区域的面积是_____．12．在直角坐标系中，满足?
?+?≥|x2||y3|3?
13．在一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的空间的体积是_____cm3（盒子的厚度不计）．
14．两个两位数，他们的差是52，它们的平方的末位数字相同，则这两个数是__________．
15．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中任取3个不同的数字a、b、c，用S表示这3个数字通过排列组成的所有可能的三位数的和，使得S是无平方因子数（即S不含有超过1次的质因数）的三个数字
的和a + b + c有_____个不同的数值．
16．在四面体ABCD中，棱AB、CD的长分别为a和b，这两棱中点的距离为d，则四面体ABCD的体积
的最大值是_____．
17．地面上有三点，它们与电视塔底部的距离分别是200米、100米和50米，在这三点测得的电视塔顶点的仰角之和为135°，则电视塔高h = _____米．
18．5）点P的坐标是（?12，，过P向两条相交直线7x2?24xy+17y2=0做垂线，两垂足间的距离为_____．
19．至少有一个数字是6的四位数中，有_____个是3的倍数．的取值范围为__________．
第二试
20．设a，b是实数，二次方程x2?ax+b=0的一根属于区间[?1，1]，另一根属于区间[1，2]，则a?2b
1．已知n个正整数ai(1≤i≤n)满足a1
BAE、∠CFA是直角．又在四边形BCEF外作等腰Rt△EFG，∠EFG是直角．求证：（1）GA = BCD、∠
（2）∠GAD = 135°．2AD；
n 2kπ?
3．（1）设n是一个大于3的素数．求∏?1+2cos
nk=1?
n?1
?
?的值．?
kπ??
（2）设n是一个大于3的自然数．求∏?1+2cos?的值．
n?k=1?
4．设自然数n≥5，n个不同的自然数a1,a2,??,an有下列性质：对集合S = {a1,a2,??,an}的任何两个
不同的非空子集A、在上述条件下，求B．A中所有数的和与B中所有数的和都不会相等．的最大值．
111
++??+a1a2an
简略答案
第一试：1．3或?2 2．(?1/2,0)∪(0,+∞) 3．(x?8)2+(y?5)2=25或(x?8)2+(y+1)2=25 4．（2，
3） 5．4 6．?3/2 7．[6,+∞) 8．{±i,1±3i?1±3i3+22 ,} 9．1≤y≤2 10．0≤y≤
222(x+2)2y2
11．+=1 12．9π?18 13．56?40π/3 14．76和24 15．6 16．abd/6 17．100
2125
18．5 19．1056 20．[?1，5]
第二试：1．略 2．略 3．（1）3 （2）①当n = 3k，则所求为0；②n = 3k+1时，所求为(?1)n?1； ③当3 k+1时，所求为(?1)n．这里k为正整数． 4．2?
12n?1
1993年上海市高中数学竞赛试题
注：第一试由李大元、刘鸿坤、余应龙、叶声扬、许三保命题．
第二试由舒五昌、黄国宣、熊斌命题．
第一试
第一试全部是填空题，共20个，满分120分．
1．已知x∈N，且3位于
x+3x+4
和之间，则x=_____．xx+1
2．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于不同的两点A、B，抛物线的顶点C．若△ABC是等腰直角三角形，则b2?4ac=_____．
已知方程x+(a?2)x+a+1=0两实根为x1、x2，而点（x1，x2）在圆x2+y2=4上，则实数a=_____．3．
2
4．x+1除以(x?1)所得的余式是__________．
5．已知cos2(α+β)?cos2(α?β)=x，cos2α?cos2β=y，y≠0．则用x，y表示tanαtanβ=__________． θ+1的顶点在椭圆x2+4y2=1上，这种抛物线有_____条．6．设抛物线y=x2?2xsin
7．已知集合A={(x,y)|y=ax+2}，B={(x,y)|y=x+1}．若A∩B为单元素集合，则实数a的取值范围
为__________．
8．若某三角形有两条高不短于它们所在的边，则该三角形的三个内角的度数是_____．9．设x,y,z∈R+，且xyz(x+y+z)=1，则(x+y)(y+z)的最小值是_____．
102
10．在复平面内有一个边长为1的正方形，它的一个顶点是原点，在两条边分别落在x轴的正半轴上与y轴的正半轴上．若复数z在这正方形的周界上变动，则|z2?1|的最大值是_____．
11．三角形的三边长为6、8、10．该三角形内的点P到该三角形三边的距离的乘积的最大值是_____．
12．抛物线y2 = 16x的焦点为F，以F与A（4，4）为焦点作一椭圆，使其与已知抛物线有公共点，当长轴最短时，椭圆的方程是__________．
设点A0在直角坐标系的原点，A1,A2,…依次在x轴的正半轴上，且|An?1An|=2n?1，n=1，…．分2，13．
B2，Bn的抛物线方程是_______．别以An?1An为边在x轴的上方作等边三角形An?1AnBn．则过所有点B1，…，
14．分别以直角三角形的两直角边为轴，将该三角形旋转一周所得的两个旋转体的体积分别是15和20．则
以该直角三角形斜边为轴旋转一周所得的旋转体的体积是_____．
15．已知圆锥的内切球的面积是圆锥底面面积和侧面面积的等差中项，则圆锥母线与底面所成角的大小
是_____．
16．过正△ABC的中心O作直线分别与AB、AC交于点D、E．若DO = 3，OE = 2，则该正三角形的边长为_____．
xy+=1的右焦点的弦AB = 8．则△AOB的面积是_____．2516
2
2
17．橙子奥数工作室防盗暗记．设过椭圆
18．从集合{1，2，3，…，45}中任取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除．不同取法有_____种．
19．设A1,A2,??,Ak是集合S={a1,a2,??,a10}的一族不同的子集，它们两两的交集都不是空集，而S的其他子集不能与A1,A2,??,Ak的交都是非空集合，则k = _____．
n≥3，设n∈N，以f(n)表示不是n的因数的最小自然数，例如f(12)=5．若f(n)≥3，又可做f(f(n))20．
等等．如果f(f(??f(n)??))=2（共k个f），那么k叫做n的长度．对一切n∈N,n≥3，用列举法表示n
第二试
一、填空题（满分60分）
xxx
1．自然数x使得[x]+[]+[]+[]=1993．则x = _____．
3!5!7!个坐在相邻椅子上．则n的最小值是_____．
2．100只椅子排成一个圆圈，有n个人做在椅子上，使得再有一个人入座时，他总与原来n个人中某一（用数值表示）．3．8个人排成一行，甲、乙是其中两人，使甲、 乙之间恰好有三人的不同排法有_____种．
4．实数x1,x2,x3满足x1+
111212
x2+x3=1及x12+x2+x3=3．则x3的最小值是_____．2323
5．已知复数z1,z2满足|z1|≥1，|z2|≥的最小值是_____．（i为虚数单位）
3
．橙子奥数工作室防盗暗记．则复数i1993z1+i1995z2+2z1z2的模长2
二、（25 分）在半径为1的圆内任给14个点．求证：其中必有两点的距离小于0.72．
(20) = 5）三、（25分）对自然数k，g (k) 表示k的最大奇因子（例如：g (3) = 3， g ．求g (1) + g (2) + g (3) ．+ … + g (2n) （其中n为自然数）四、（30分）设自然数a，b，c，d满足
acac
+<1及a+c=20．求+的最大值．bdbd
x
6．4 7．a≥1或a≤?1 4y
128(x?4)2(y?2)212
+=1 13．y=3(x?) 14．90°,45°,45° 9．8．2 10．5 11． 12．12
1512164
简略答案：第一试：1．4 2．4 3．3?11 4．10x?8 5．?
118715．arccos 16． 17．8 18．4740 19．512 20．{1，2，3} 第二试：1．1697 2．34 一、
3713852114n+2
3．5760 4．? 5． 二、略 三、Sn= 四、
13863112
上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文
