上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文 

1999年上海市高中数学竞赛试题

（1999年5月15日星期六上午8：30 -- 10：30）

一、填空题（本题10小题，每小题7分，共70分）

1．α是第三象限角，且6sin2α+sinαcosα?2cos2α=0，则sin2α+cos2α=_____． 2．正四面体ABCD的棱长为1，点G是底面△ABC的重心，点M在线段DG上，且使得∠AMB = 90°，

M、N分别在边BC、CD上，BF⊥AM，BH⊥AN，DE⊥AN，DG⊥3．ABCD是边长为1的正方形，点

AM，其中F、H、E、G为垂足，且∠GAH =θ，则四边形EFGH的面积是_____．4．若a > 0，a2?2ab + c2 = 0，bc > a2，则实数 a、b、c的大小关系是_____．

5．原有m个同学准备展开通信活动，每人都必须给另外m?1个同学写1封信，后来又有n个同学对活动感兴趣，若已知n > 1，且由于增加了n个同学而多写了74封信，则原有同学人数m = _____．则DM的长为_____．

6．已知a、b为实数，方程x2 = ax + b的一个根为6，另一根的绝对值小于2，则抛物线y =?x2 + ax + b的顶点的轨迹是_____．

7．点P在双曲线x2?y2 = 6的右支上，A1、A2分别为左、右顶点，且∠PA2x = 3∠PA1x+ 10°，则∠PA1x的大小是_____度．

8．△AEF是矩形ABCD的内接直角三角形，E、F分别在边BC、CD上，∠AEF = 90°，AE = 4，EF = 3，

则矩形ABCD的面积最小值是_____．

11112

++??++xk(k∈N)，则和的整数部分是_____．9．数列x1,x2,??满足x1=,xk+1=xk

x1+1x2+1x1999+12

10．橙子奥数工作室防盗暗记．

cos1°+cos2°+??+cos44°

的值是_____．

sin1°+sin2°+??+sin44°

二、（本题（1）a,b,c均为整数；（2）a,b,c 16分）△ABC的边长a,b,c(a≤b≤c)同时满足下列三个条件：组成等比数列；（3）a与c中至少有一个等于100．求出三元数组(a,b,c)的所有可能的解．

abcdabcd

三、（本题16分）四个不同的实数a,b,c,d满足+++=4且ac=bd，求+++的最大值．

cdabbcda四、（本题18分）对于平面上任意n个点构成的点集P，如果其中任意两点之间的距离均已确定，那么

1

就称这个点集是“稳定的”．求证：在n(n≥4)个点的平面点集P中，无三点共线，且其中的n(n?3)+4

2

个两点之间的距离已被确定，那么点集P就是“稳定的”．

761

简略答案：一、1． 2． 3．sin2θ 4．b > c > a 5．18 6．y=x2?12x+36(2

562

7．20 8．12 9．1 10．1 二、共有10组可能的解：（49，70，100），（64，80，100），（81，90，，（100，100，100），（100，110，121），（100，120，144），（100，130，169），（100，140，196），100）

，（100，160，256） 三、?12 四、略 （100，150，225）

1998年上海市高中数学竞赛试题

一、填空题（每小题7分，共70分）

2f(n)+1

1．f(n)是定义在正整数集N+上的函数，且满足f(1)=2,f(n+1)=，则f(1998)=_____．

2

2

2．函数y = ax + bx + c的图象是开口向下的抛物线，a、b、c各不相等，且都在集合{绝对值不大于5的

整数}中取值，则这些抛物线中通过点（0，1）的有_____条．

，则圆心的轨迹是_____．3．已知圆方程x2+y2?2m+1x?my+m+1=0（m为正参数）

4．设θ∈R，00 的解集为区间

，则?的值是_____．（1，10）

0211

C11C1C11C1111

+++??+=_____．5．橙子奥数工作室防盗暗记．计算 12312

6．已知f(x)=sinx+cos(x+t)为偶函数，且t满足不等式t2?3t?40 < 0，则t的值为_____．

????????????

7．设非零向量a,b不共线，且使2x?a+y?b=40×5y?a+(2?x)b，则有序实数组（x，y）为_____．

15

8．若关于x的不等式9?x≥?ax的解集的区间长度是，则a的值是_____．

4

22

9．△ABC的边长为5，12，13．一个以1为半径的圆在三角形内部沿边线无滑动地滚动一周，则圆心移动的长度是_____．

10．在圆内接四边形ABCD中，∠A = 60°，|AB|、|BC|、|CD|、|DA|依次成等差数列，且公差d=3+3，

则 |AB| = _____．

二、（16 分）设n∈N，且使得37.5n+26.5n为正整数．求n的值．

+

三、（16 分）一个正方形的三个顶点A、B、C在抛物线y = x2上，求它的面积的最小值．

四、（18分）设f(x)=anxn+an?1xn?1+??+a0，g(x)=cn+1xn+1+cnxn+??+c0是两个实系数非零多项式，且

a

|(0≤k≤n+1)．存在实数r，使g(x)=(x?r)f(x)．记a=max|ai|(0≤i≤n)，c=max|ck 求证：≤n+1．

c

简略答案：

一、1．1000.5 2．36 3．双曲线x2?4y2 = 1在第一象限内的部分 4．7π/6或11π/6 5．1365/4 （3，?1） 8．±415 9．15 10．2 6．?3π/2或π/2或5π/2 7．

二、1，3，5，7 三、2 四、略

1997年上海市高中数学竞赛试题

第一试

一、填空题

1．已知两直线x?y = 2与cx + y = 3的交点在第一象限，则实数c的取值范围是_____．

．2．△ABC中，已知(CA + AB)：(AB + BC)：(BC + CA) = 4：5：6，则sinA:sinB:sinC=_____3．sin21°+sin22°+sin23°+??+sin2179°的值是_____．

4．设α为三角形的一个内角，且(lg2+lg3)sin4α>1，则实数α的取值范围为_____．

5．已知椭圆x2?2ax+3y2+a2?6=0有一个焦点在直线x?y+4=0上，则实数α的值是____．

，在几何体ABC?A’B’C’中，已知棱AA’、BB’、CC’都垂直6．如图（A’、B’、C’在面ABC同侧，图略）

底面ABC，且AB = BC = CA = AA’ =2，BB’ = 4，CC’ = 3，则该几何体的体积为_____．7．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f (x) = kx2?2kx的最大值为3，则实数k的值是_____．+ x + 1/x)7的常数项是_____．8．展开式 (1 9．f(x)+g(x)=

1+cos2xππ (x)]2_____．（x∈(?,)），且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，则[f(x)]2?[g

1?sinx22k

，则所有可能的乘积aiaj（1≤i≤j≤n）的和为_____．10．已知数列ak = 2（1≤k≤n）

11．△ABC中，已知BC = 4，AC = 3，cos(A?B)=3/4，则△ABC的面积为_____．

12．在直角坐标系中，过点(1，2)且斜率小于0的直线中，它在两坐标轴上的截距之和最小的直线的斜率

为_____．

13．平面内有10个点，其中有5个点在一条直线上．此外没有3个点在一条直线上，则过这10个点里的任2点可作条_____不同射线．

14．在集合{n|1≤n≤100,n∈N}中取出两个不同的数，使它们的和大于100，则不同的取法有_____种．

33

15．橙子奥数工作室防盗暗记．设复数z1、z2满足z1z2=1，z1+z2=0，且z1 +z2≠0．z1、z2在复平面

内的对应点为Z1、Z2，O为原点，则△Z1OZ2的面积是_____．

16．若x、y为实数，且x2 + 2xy?y2 = 7，则x2 + y2的最小值为_____．

17．四个正数的和为4，平方和为8，则这四个数中最大的那个的最大值为_____．18．设x>1，y>1，则方程x+y+

33

+=2(x+2+y+2)的解（x，y）= _____． x?1y?1

，沿CP将直角19．已知Rt△ABC的两直角边AC = 2，CB = 3，CP为∠ACB的平分线（P在斜边AB上）

三角形折成二面角A?CP?B，当AB = 22时，二面角A?CP?B的大小是_____．

20．某种商品凡购买100（包括100）件以下的按零售价结算，购买10l（包括101）件以上的按批发价结

算．己知批发价每件比零售价低2元，某人原欲购该商品若干件，需按零售价结算付a元，但若多买21

件，则可按批发价结算恰好也是a元（a为整数），则a的值为_____．

第二试

一、填空题

1．已知tanα=

ab

（其中a、b为非零常数），则(a2+b2)sinαcosα?abcos2α=_____． 22

a+b

2．已知点A (0,4)，B (4,0)．若抛物线y = x2?mx+m+1与线段AB（不包括端点A及B）有两个不同的交

点，则m的取值范围为__________．

3．已知集合A、B各有12个元素，A∩B含有4个元素，集合C满足条件C?A∪B，C含有3个元素且C∩A≠?，这样的集合C共有_____个．

nn

k

4．数列{an}的通项公式为an=∑(k)，bn=cos(anπ)，则∑bk的值为_____．5．集合A = {z

||z+

k=1k=1

23B = {z|≤1,z∈C}，

则A∩B中幅角最大的复数是__________．z∈C,|z|≤1}，

6．若多项式P(x)满足方程P(x2) + 2x2 + 10x = 2x?P(x + 1) + 3，则其解析式P(x) = _____．7．橙子奥数工作室防盗暗记．正整数m、n满足

m+n4

=，则m+n的值为_____．

m2+mn+n249

8．有一个顶点向下且底面呈水平状的圆锥形容器，轴截面是边长为6的正三角形，容器里装满了水，现有一正四棱锥，底面边长为a (a<6)，高为h(h>6)，竖直地浸在容器里，为了使容器溢出的水最多，

a的值应取为_____．

9．已知实数x、y、z、t满足x+y+z+t=0，x2 + y2 + z2 + t2 = 10，则xy + yz + zt + tx的最大值与最小值

的和为_____．

10．数100！的各位数字从右往左看时，第一个不是0的数字是_____．

nn+1

xy=1A二、双曲线上，横坐标为的点为，横坐标为的点为Bn（n∈N+）．记坐标为（1,1）的n

n+1n

点为M，Pn(xn,yn)是△AnBnM的外心．求n→+∞时，Pn的极限坐标(a,b)，这里a=limxn,b=limyn．

n→+∞n→+∞三、设S={1，2，3，4}，n项的数列a1,a2 ,…,an具有以下性质：对于S的任意一个非空子集B（B的元素个数记为 |B|），在该数列中有相邻的 |B| 项恰好组成集合B．求n的最小值．

四、求平面直角坐标系中格点凸五边形（每个顶点的横坐标、纵坐标都是整数）的周长的最小值．

简略答案第一试

33πππ（?1，） 2．7：5：3 3．90 4．1或?3 8．393 1．(,)∪(,π) 5．?6或?2 6．33 7．

24249．?2cosx(x∈(?16．ππ4373 12．?2 13．78 14．2500 15．,) 10．(2n?1)(2n+1?1) 11．322241723+133+13,) 19．arccos(?) 20．840 17．1+3 18．(62221731?i 6．2x+6 7．16 8．22 9．?10 10．4 ) 3．1084 4．?1 5．?623

第二试：一、1．0 2．(3,

二、（2，2） 三、8 四、2+32

1996年上海市高中数学竞赛试题

一、填空题

1．若α,β,α+β都是锐角，用“>”连接sin(α+β)，sinα+sinβ，cosα+cosβ是_________________．

2．三角方程cos2x=0在区间[0，100]内的所有解的和是_____．

3．已知满足条件 |z2| + |z2?1|= 7的复数z在复平面内的所对应的点的集合是一条二次曲线，则该二次曲

线的离心率e = _____．

4．△ABC的斜边上的高是CD，且AD=

1

将△ACD绕CD旋转至△A1CD，使得二面角A1?CD?BAB．3

为60°，则异面直线A1C与AB所成的角的大小是_____（用反三角函数表示）．

5．若关于x的二次方程ax2?(3a+1)x+4a?5=0至少有一个整数根，则正整数a=_____．

6．从集合M = {a|a∈N且a≤100} 中选取四个各不相等的数，使它们按照从小到大的顺序组成公比为

整数的等比数列，则这样的等比数列有_____个．

x2y2

橙子奥数工作室防盗暗记．连接椭圆+作正方形F2ABC（F2、7．=1的右焦点F2与椭圆上的动点A，

94

A、B、C四顶点按顺时针方向排列），则当点A沿椭圆运动一周后，动点C的轨迹方程是__________．8．四个半径为1的小球两两相切装在一个大球里面且都与大球相切，大球的半径是_____．

9．点集A={(x,y)|sin(3x+5y)>0且x2+y2≤π2}所构成的平面图形的面积是_____．

10．若关于x的不等式|x?1|>x2 + a仅有负数解，则实数a的取值范围是__________．

km（m是正整数）二、设k1 < k2 < k3 <…是正整数，且没有两个是相邻的，又sm = k1 + k2 + k3 + … + ．求证：对于每个正整数n，区间 [sn，sn+1）中至少含有一个完全平方数．

三、已知集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中的任意两个元素的差的绝对值大于1．

四、平面上给定n个点A1，A2，…，An，任意三点不共线．由其中k个点对确定k条直线（即过k个点对

中的每一点对作一条直线），使这k条直线不相交成三个顶点都是给定点的三角形．求k的最大值．

31

简略答案：一、1．cosα+cosβ>sinα+sinβ>sin(α+β) 2．1024π 3． 4．arccos 5．2

62

(x?5)2(y?5)26135

+=1 8．1+ 9．π 10．1≤a<或3 6．16 7．49224

二、略 三、设an为所求，则a1到a10依次为1，3，7，14，26，46，79，133 四、若n为偶数，kmax

n2?1n2

；若n为奇数，kmax=． =44