2009年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷
（2009年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
20092009
log2009a1+loga2+L+loga10
1. 设a1,a2,L,a10∈(1,+∞)，则的最小值是 。 2009
loga
1a2La102. 已知x,y∈N*，且1+2+L+y=1+9+9+L+9，则将y表示成x的函数，其解析式是y= 。
3. 已知函数f(x)=|x2?2|，若f(a)=f(b)，且0 132 ]4. 满足方程log2[2cos2(xy)+=?y+y+的所有实数对 2cos2(xy)4 (x,y)= 。 5. 若 [a] 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 [tanx]=2sin2x的解是 。 6. 不等式22x≤3?2x+x+4?22x的解集是 。 7. 设A是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即A={1,2,L,2009}，集合L?A，且L中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的 交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数f(x)定义于闭区间[0,1]，满足f(0)=0,f(1)=1，且 x+y 对任意x,y∈[0,1],x≤y，都有f()=(1?a2)f(x)+a2f(y)，其中常数a满足 2 0 x2 10. （本题满分14分）如图，A是双曲线?y2=1的右顶点，过点A的两条互 4 相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点M,N，问直线MN是否一定过x轴上一定点？如果不存在这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P试求出这个定点P的坐标。 y M OAx N 1 2 x?1 11. （本题满分16分）设A,B是集合{a1,a2,a3,a4,a5}的两个不同子集，使得A不是B的子集，B也不是A的子集，求不同的有序集合对(A,B)的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{an}使得a10k?9+a10k?8+L+a10k≤19对一切k∈N*恒成立。记该数列若干连续项的和 p=i+1 ∑a j p 为S(i,j)，其中i,j∈N*， 且i 答案：一、 3x?1π1 1、100； 2、； 3、(0,2)； 4、（kπ+,）(k∈Z) 222 5、x=kπ或x=lπ+ π4 (k,l∈Z)； 6、[0,4]； 7、1005； 8、960。 0+ 1 110+12)=a2f(1)=a2 二、9、解：因为f()=f()=a2，f()=f(42222 1+1 312)=(1?a2)f()+a2f(1)=2a2?a4 f()=f(422 13+ 144)=(1?a2)f(1)+a2f(3)=?2a6+3a4 8分 所以f()=f(2244 2由此得a2=?2a6+3a4，而0 2 10、解法一：A(2,0)，将y轴向右平移2个单位，使点A成为新直角坐标系(x'+2)2 ?y2=1，即4y2?x'2?4x'=0 的原点，在新坐标系下，双曲线的方程为 4 (*) 44 若MN⊥x轴，则kAM=1，即lAM:y=x'，代入（*）式可得M(,)，进而 33 44410 所以P(,0)，则点P在原坐标系中的坐标为(,0)。 5N(,?)。 3333分 y?kx' =1， 若MN不垂直x轴，设lMN:y=kx'+t(t≠0)，则t yyy?kx' 于是（*）可以改写成4y2?x'2?4x'?=0，即4t()2?4()+4k?t=0 x'x't 该方程的两个根k1,k2既是AM,AN的斜率。 2 4k?t =?1， 10分 4t 444 所以t=?k，故lMN:y=kx'?k=k(x'?) 333 410 所以过定点P(,0)，则点P在原坐标系中的坐标为(,0)。 33 10 综上所述，直线MN过x轴上的定点P(,0) 14分 3 1 解法二：设直线AM的斜率为k(k>0,k≠±,k≠±2) 2 ?x2?4y2=42k2+8?4k8k2+24k由?,) ?M(2,2)，同理得N(22 4?k4?k??4k14k1?y=k(x?2) 1010 当k=±1时，xM=xN=，所以过(,0) 8分 33110 当k≠±1,k≠2,k≠±时，由直线MN的方程得，y=k'(x?) 10分 23 10 所以，直线MN过x轴上的定点P(,0) 14分 3 11、解：集合{a1,a2,a3,a4,a5}有25个子集，不同的有序集合对(A,B)有 因为AM⊥AN，所以k1k2= 25(25?1)组。 2分 若A?B，并设B中含有k(1≤k≤5)个元素，则满足A?B的有序集合对(A,B)有 ∑C k=1 5 k5 (2?1)=∑C2?∑C5k=35?25组 8分 k k5 k k=0 k=0 55 同理，满足B?A的有序集合对(A,B)也有35?25组。 10分 所以，满足条件的有序集合对(A,B)的组数为25(25?1)?2(35?25)=570组。 16分 12、证明：显然S(i,j)∈N* 2分 下证对任意n0∈N*，存在S(i,j)=n0 用Sn表示数列{an}的前n项和，考虑10n0+10个前n项和： S1 由题设S10n0+10=(a1+a2+L+a10)+(a11+L+a20)+L+(a10n0+1+L+a10n0+10) 6分 另外，再考虑如下10n0+10个正整数： S1+n0 显然 S10n0+10+n0≤20n0+19 10分 这样（1），（2）中出现20n0+20个正整数，都不超过20n0+19， 由抽屉原理，必有两个相等。由于（1）式中各数两两不相等，（2）式中各数也两两不等，故存在i,j∈N*，使得Sj=Si+n0，即j>i，且n0=Sj?Si=S(i,j) 所以，所有S(i,j)构成的集合等于N*。 16分 3 ２００９年第６期 厂３５ 一竞赛／兄ｊ赘 图 上－＿窗 ２００８年新知杯上海市高中数学竞赛 说明：解答本试卷不得使用汁算器． 一、填空题（第１～４小题每小题７分，第 ５～８小题，每小题８分，共６０分） １．已知恒等式 ４＋ａ３＋ａ２＋ａ１ ２ ３ ＋ａ４ ＝（ ＋１） ＋ｂｌ（ ＋１） ＋ｂ２（ ＋１） ＋ ６ （ ＋１）＋ｂ４． 用ａｌ、ａ２、ａ３、ａ４表示ｂ３，那么，ｂ３＝ ● ．．．．．．．．．．．．． ． ．． 一２．有一个１９ Ｘ １９的正方形棋盘，从中任 取两条水平线，两条垂直线．围成的图形恰好 是正方形的概率是 ３．一条长为４的线段ＡＢ在 轴正半轴 上移动，另一条长为２的线段ｃＤ在Ｙ轴正 半轴上移动．如果这两条线段的４个端点Ａ、 Ｂ、Ｃ、Ｄ四点共圆，则这个圆的圆心轨迹是 ４．已知ａ、ｂ是正实数，ｎＥ－Ｎ ．则函数 ＝ ； 的最大值是 ． ５．如图ｌ，正方 形ＡＢＣＤ所在平面与 正方形ＡＢＥＦ所在平 面构成４５。的二面角． 则异面直线ＡＣ与 阁１ ＢＦ所成角的大小为一 ６．数列｛ａ ｝定义如下： ａＩ＝１，ｎ２：３， ． ａ ＋２＝２ａ ＋ｌ—ａ ＋２（ｎ＝１，２，…）． 则它的前ｎ项和为． 一——７．直角坐标平面上的４个点／４（１，２）、 Ｂ（３，１）、Ｃ（２，３）、Ｄ（４，０）到直线Ｙ： 的距 离的平方和为 ．当 变化时，ｓ的最小值为 ８．正整数ｒｔ使得集合｛１，２，…，２ ００８｝的 每一个ｎ元子集中都有２个元素（可以相 同），它们的和是２的正整数幂．则 的最小 值是 ． 二、解答题（共６０分） ９．（１４分）已知数列｛ａ ｝的通项为 ａ ＝１＋２＋…＋ｎ（ Ｅ－Ｎ＋）， 把此数列中所有３的倍数依次取出，构成一 个新的数列ｂ．，ｂ ，…，ｂ ，…．求数列｛ｂ ｝的 前２ｍ项的和Ｓ ． １０．（１４分）在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＣＡ： ｂ，以边ＡＢ为一边长向外作正方形ＡＢＥｋ ，０ 为正方形ＡＢＥＦ的中心， 、 分别为边ＢＣ、 的中点．当 ＢＣＡ变化时，求ＯＭ＋ＯＮ 的最大值． １１．（１６分）用Ａ（ｎ，ｋ）表示集合｛１，２， …，ｎ｝的不含连续整数的ｋ元子集的个数． 求Ａ（／２，ｋ）． １２．（１６分）在直角坐标平面上，称横、纵 坐标都是有理数的点为有理点．求满足如下 条件的最小正整数ｋ：每一个圆周上含有ｋ 个有理点的圆，它的圆周上一定含有无穷多 个有理点． 参考答案 一 ——、１．一４＋３ａｊ一２ａ２＋ａ３． 在已知恒等式中令 ＝一１得 ｂ４＝１一ａｌ＋ａ２一ｎ３＋ｎ４． 移项整理得 （ ４—１）＋ａＩ（ 。＋１）＋ａ２（ 一１）＋ａ３（ ＋１） ＝（ ＋１） ＋ｂｌ（ ＋１）。＋６２（ ＋Ｉ） ＋６３（ ＋１），
上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文
