2011年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见
一. 填空题(7'×4+8'×4=60') 1.{(0,1),(2,?1),(?3,4),(?4,5)}; 2. y(x-2)=-2; 3.22
; 4. 2; 5.-1; 6. 6; 7. 200o; 8.1116
. 二.解答题
9.解:当x>0时,x+
4x≥2x?4x=4,当x<0时, x+4
x≤?4<4,故 x>0min{x+4??
4,
;x,4}=???
x+4
x,x<0.又min??1???1
,?1
(4’) ?x
?
x,x≤?1或0 所以有以下四种情形: (1) 当x>1时,原不等式为4≥8 x ,x≥2.此时,x∈[2,+∞). (2) 当0 2.此时,x∈(0,2]. (9’) (3) 当?1 x?x2≤4.此时,x∈(?1,0). (4) 当x≤?1时, 原不等式为x+4x ≥8x?x2≥4 7.此时,x∈(?∞,?1]. 综上所述,满足题意的x的取值范围为 (?∞,0)∪(0,1 2 ]∪[2,+∞). (14’) 10.解:延长NO至P,使OP=ON,又BO=OC,可知BPCN为平行四边形, ∴BP//AC,BP=CN=3. (3’) A 连接MP,QM在NP的垂直平分线上, ∴MP=MN6 4 (6’) N 令MN=a,则在VAMN和VMBP中,由余弦定理得 M 3 a2=MN2=62+42?2?6?4cosA=52?48cosA, 4 2 2 2 2 (10’) a=MP=3+4+2?3?4cosA=25+24cosA. B O C 消去a2 ,得 27?72cosA=0, P 于是cosA= 38,∠A=arccos3 8 .(14’) 11.解:Q(x+1)2 ?x2 =2x+1,2x+1≤50(x∈N)?x≤24(x∈N). (24+1)2=625∈S12, 3 ∴S0,S1,L,S12中含有的平方数都不超过252,且每个集合都是由连续50个非负整数所组成的,故每个 集合至少含有1个平方数. (6’) S13,S14,L,S599中,若含有平方数,都不小于262.而当x≥26时,2x+1≥53,从而S13,S14,L,S599中,每 个集合至多含有1个平方数. 另一方面, S599中最大数是600?50?1=29999, 1732<29999<1742,∴S13,S14,L,S599中含有平方数. 则不超过1732. (12’) ∴S13,S14,L,S599中有且仅有173-25=148个集合含有平方数. 综上所述, S0,S1,L,S599中, 有600-13-148=439个集合不含有平方数. (16’) 12.解:当n=2时,不等式为(x1+x2)2≥2(x1x2+x2x1),即 (x1?x2)2≥0,故n=2满足题意. (2’) 当n=3时,不等式(x21+x2+x3)≥3(x1x2+x2x3+x3x1), 等价于 (x1?x2)2+(x2?x23)2+(x3?x1)≥0, 故n=3满足题意. (5’) 当n=4时,不等式为 (x1+x2+x3+x4)2≥4(x1x2+x2x3+x3x4+x4x1) ?(x1?x2+x3?x4)2≥0.故n=4满足题意. (8’) 下证当n>4时,不等式不可能对任意正实数x1,x2,L,xn都成立. 取x1=x2=1,x3=x4=L=x1 n= 5(n?2) , 则原不等式为[1+1+(n?2)? 15(n?2)]2≥n(1+2n?3 5(n?2)+25(n?2) 2 ? 1212nn25≥n+5(n?2)+(n?3) 25(n?2)2 , 这与 121 25 <5≤n矛盾. 所以满足题意的正整数n为2,3,4. (16’) 4