上海市历届高中数学竞赛（新知杯）试卷及答案(1980-2012) - 图文 

2011年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题解答及评分参考意见

一. 填空题(7'×4+8'×4=60') 1.{(0,1),(2,?1),(?3,4),(?4,5)}; 2. y(x-2)=-2; 3.22

; 4. 2; 5.-1; 6. 6; 7. 200o; 8.1116

. 二.解答题

9.解:当x>0时,x+

4x≥2x?4x=4,当x<0时, x+4

x≤?4<4,故 x>0min{x+4??

4,

；x,4}=???

x+4

x,x<0.又min??1???1

,?1?x,x??=?1;

(4’) ?x

?

x,x≤?1或0

所以有以下四种情形:

(1) 当x>1时,原不等式为4≥8

x

,x≥2.此时,x∈[2,+∞). (2) 当0

2.此时,x∈(0,2]. (9’)

(3) 当?1

x?x2≤4.此时,x∈(?1,0).

(4) 当x≤?1时, 原不等式为x+4x

≥8x?x2≥4

7.此时,x∈(?∞,?1].

综上所述,满足题意的x的取值范围为

(?∞,0)∪(0,1

2

]∪[2,+∞). (14’)

10.解:延长NO至P,使OP=ON,又BO=OC,可知BPCN为平行四边形, ∴BP//AC,BP=CN=3. (3’)

A 连接MP,QM在NP的垂直平分线上, ∴MP=MN6 4 (6’)

N 令MN=a,则在VAMN和VMBP中,由余弦定理得

M 3 a2=MN2=62+42?2?6?4cosA=52?48cosA,

4 2

2

2

2

(10’)

a=MP=3+4+2?3?4cosA=25+24cosA. B O C 消去a2 ,得 27?72cosA=0, P 于是cosA=

38,∠A=arccos3

8

.(14’) 11.解:Q(x+1)2

?x2

=2x+1,2x+1≤50(x∈N)?x≤24(x∈N).

(24+1)2=625∈S12,

3

∴S0,S1,L,S12中含有的平方数都不超过252,且每个集合都是由连续50个非负整数所组成的,故每个

集合至少含有1个平方数. (6’)

S13,S14,L,S599中,若含有平方数,都不小于262.而当x≥26时,2x+1≥53,从而S13,S14,L,S599中,每

个集合至多含有1个平方数.

另一方面, S599中最大数是600?50?1=29999,

1732<29999<1742,∴S13,S14,L,S599中含有平方数.

则不超过1732. (12’)

∴S13,S14,L,S599中有且仅有173-25=148个集合含有平方数.

综上所述, S0,S1,L,S599中,

有600-13-148=439个集合不含有平方数. (16’) 12.解:当n=2时,不等式为(x1+x2)2≥2(x1x2+x2x1),即

(x1?x2)2≥0,故n=2满足题意. (2’)

当n=3时,不等式(x21+x2+x3)≥3(x1x2+x2x3+x3x1), 等价于 (x1?x2)2+(x2?x23)2+(x3?x1)≥0,

故n=3满足题意. (5’) 当n=4时,不等式为

(x1+x2+x3+x4)2≥4(x1x2+x2x3+x3x4+x4x1)

?(x1?x2+x3?x4)2≥0.故n=4满足题意. (8’)

下证当n>4时,不等式不可能对任意正实数x1,x2,L,xn都成立. 取x1=x2=1,x3=x4=L=x1

n=

5(n?2)

,

则原不等式为[1+1+(n?2)?

15(n?2)]2≥n(1+2n?3

5(n?2)+25(n?2)

2

?

1212nn25≥n+5(n?2)+(n?3)

25(n?2)2

, 这与

121

25

<5≤n矛盾. 所以满足题意的正整数n为2,3,4. (16’)

4