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求三角函数最值的几种方法
一、利用函数的增减性
例1. 若x?0，?，求sinx? 解：?x?0，?
??4的最小值。 sinx??x?0 ?sin4?2? sinx????sinx??4
?sinx?sinx 设y?22?sinx，显然函数y?sinx2?sinx是sinx的减函数，且sinx22?2?2?sinx即 ?sinx??4也是sinx的减函数。?sinx?0，故???sinxsinxsinx ∴当sinx?1，即x??2时，sinx?4的最小值是5。 sinx二、利用三角函数的有界性 例2. 求函数y?sinx?3的最值。
cosx?4 解：由已知得：sinx?ycosx??4y?3
2 所以1?ysin?x?????4y?3
4y?3 sin?x?????1?y2 由sin?x????1，得：?4y?3?1
1?y2 即15y?24y?8?0
所以?12?26?y??12?26
15152 则y的最小值为三、巧用换元法
?12?26?12?26，最大值为。
1515 例3. 求函数f(x)?sinxcosx?sinx?cosx的最值。 解：设sinx?cosx?t，则?2?t? t2??sinx?cosx??1?2sinxcosx
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22
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t2?1xcosx? ?sin
2t2?11 因此，f(x)??(t)??t?(t?1)2?1
22?f(x)max???2??1?22 2 ?1?2?1?2?2?1?f(x)min??(1)??1 说明：f(x)不是x的二次函数，但通过换元后可化为t的二次函数，但应注意换元后新变量的取值范围。
四、运用重要不等式
x(0?x??)的最值。 2x2x?0，则 解：由题设可得y?2sincos22xxy2?4cos4sin222xxx ?2cos2cos2·2sin22223?2x2x2x??cos?2sin??cos222??2·?3???? 例4. 求函数y??1?cosx?sin ?16x2x?2sin2 ，当且仅当cos2227 即tanx2时，等号成立。 ?2243 ?y最大值?
9 说明：运用重要不等式求函数的值域或最大值时一定要注意不等式成立的条件，包括等号成立的条件。
五、巧用判别式 例5. 若?????? 解：????2，求sin??sin??sin?的最大值。
?2??????
?sin??co?s????
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设sin???2?x，则
sin??sin??sin? ?sin??sin??cos?????
?2sin???22·cos???2?1?2sin2???2 ?2xcos????1?2x2
构造方程y?2xcos???2?1?2x2，即
2x2?2xcos???2?y?1?0 ?x?sin????R
2??????4cos2?8?y?1??02 于是有2y?2?cos2???2?3
3?（此时??????） 26??sin??sin??最大值?y最大值? ??sin
六、利用向量
例6. 已知0?x??，求函数y? 解：由题设知y?0且cosx? 由a·b?a·b得：
2?cosx的最小值。
sinxysinx?2，构造向量a??cosx，sinx?，b??1，y?
x?ysinx? cos ?2?2co2sx?sinx·1?y2
1?y2，即y?3
当且仅当
cosxsinx? 1y时等号成立
即x??3 ∴当x?
?3时，函数y取得最小值为3
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