人教A版高中数学选修2-1全册同步课时练习
1．1 命题及其关系
第一课时 命题
填一填
1.命题的定义
一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．命题的形式
在本章的学习中，我们只讨论具有“若p，则q”这种形式的命题，通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 判一判 1.语句“给我们把门打开！”是命题．(×) 2．语句“陈述句都是命题”不是命题．(×) 3．命题“实数的平方是非负数”是真命题．(√)
4．“平行四边形的对角线互相平分”可以看作是“若p，则q”形式的命题．(√) 5．语句“求证2是无理数”不是命题．(√) 6．“x2＋1>0(x∈R)”是命题．(√) 7．“6x≤9”不是命题．(√)
8．“若a与b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题．(×) 想一想 1.如何判断一个语句是否为命题？ 判断一个语句是不是命题，就是要看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件．
2．判断命题真假的方法有哪些？ (1)直接法
数学中的定义、公理、公式、定理等都是真命题，它们是判断一个命题是否为真命题的依据．
(2)举反例法
通过构造反例来否定一个命题的正确性，是判断一个命题为假命题的常用方法． (3)特例法
特殊化思想是一种重要的数学思想，对于有些判断真假的问题，通过构造符合条件的函数往往能化抽象为具体，从而简便解题．
3．判断“若p，则q”命题真假的步骤是什么？
(1)明确命题中的条件p与结论q.
(2)若判断一个命题为真命题，需依据数学中的定义、公理、定理、公式等给出充分的证明；若判断一个命题为假命题，只需用一个反例检验即可．
思考感悟：
练一练
1．下列语句中是命题的是( ) A．函数y＝x3－x是奇函数吗？ B．3∈{1,2,3,4} 11C.< ab
D．求方程log3x＋2＝0的根 解析：A是疑问语，不是命题；B是命题；C无法判断真假，不是命题；D不是陈述语，不是命题．
答案：B
2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( ) A．余弦值 B．第二象限
C．一个角是第二象限角 D．没有条件
解析：命题可改写为“若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0”． 答案：C
3．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( ) A．这个数能被2整除 B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除 D．这个数是6的倍数
解析：命题可改为“若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除”． 答案：C
4．下列命题属于假命题的是( ) A．若ac2>bc2，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若x∈R，则x2＋x＋1>0 D．函数y＝sin x是周期函数
解析：B中，若a＝2，b＝－2，则|2|＝|－2|，但是2≠－2，B为假命题． 答案：B
知识点一
1．下列语句中，是命题的是________．
①作射线AB. ②中国领土不可侵犯！ ③当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
解析：③是陈述句，并能判断真假，是命题．①②不是陈述句，不是命题． 答案：③
2．下列语句不是命题的是________．
命题的概念
①你喜欢鲁迅的作品吗？ ②斜率相同的直线平行． ③向抗洪英雄致敬！ ④x<－3或x>3. ⑤5≥5.
解析：①是疑问句，不是命题．②是命题．③是感叹句，不是命题．④无法判断真假，不是命题．⑤是命题．
答案：①③④ 知识点二 命题真假的判断 3.下面命题中是真命题的是( ) A．函数y＝sin2x的最小正周期是2π B．等差数列一定是单调数列 C．直线y＝ax＋a过定点(－1,0)
→→
D．在△ABC中，若AB·BC>0，则B为锐角
1－cos 2x
解析：y＝sin2x＝，最小正周期为π，A是假命题．等差数列公差为0的时候，
2
→→→→
不是单调数列，B为假命题．C为真命题．△ABC中，若AB·BC>0，则向量AB与BC所成的角为锐角，即B为钝角，D为假命题．
答案：C
4．下列命题为假命题的是( )
A．△ABC中，若sin A>sin B，则A>B B．若|a|＝|b|，则a＝b
11
C．若＝，则a＝b
ab
D．x2－x＋1>0
ab
解析：△ABC中，由正弦定理可知，>，a>b，则A>B.A为真命题．若|a|＝|b|，则
2R2R
a与b的模相等，但方向不确定，a与b不一定相等，B为假命题，C、D均为真命题．
答案：B 知识点三 命题的结构形式 5.指出下列命题的条件p和结论q： (1)若x＋y为有理数，则x，y也都是有理数； (2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.
解析：(1)条件p：x＋y为有理数，结论q：x，y也都是有理数． (2)条件p：x＝3或x＝7，结论q：(x－3)(x－7)＝0.
6．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假． (1)正n边形(n≥3)的n个内角全相等； (2)负数的立方是负数；
(3)已知x，y为正整数，当y＝x－5时，y＝－3，x＝2.
解析：(1)若一个多边形是正n边形(n≥3)，则这个正n边形的n个内角全相等．此命题是真命题．
(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数．此命题是真命题．
(3)已知x，y为正整数，若y＝x－5，则y＝－3，x＝2.此命题是假命题.
综合应用 7.设集合A＝{x|x2－6x－7<0}，B＝{x|x≥a}，现有下面四个命题： p1：存在a∈R，使A∩B＝?；
p2：若a＝0，则A∪B＝(－7，＋∞)； p3：若?RB＝(－∞，2)，则a∈A； p4：若a≤－1，则A?B. 其中为真命题的是( ) A．p1，p4 B．p1，p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p2，p4
解析：集合A＝{x|x2－6x－7<0}＝{x|－1 对于命题p1，当a≥7时，A∩B＝?，∴p1是真命题． 对于命题p2，当a＝0时，B＝{x|x≥0}，∴A∪B＝{x|x>－1}＝(－1，＋∞)，∴p2是假命题． 对于命题p3，若?RB＝(－∞，2)， 则a＝2，则a∈A，p3是真命题． 对于命题p4，若a≤－1，在数轴上把集合A，B表示出来，如图所示， 由图易知A?B，∴p4是真命题． 综上，四个命题中为真命题的是p1，p3，p4. 答案：B 8．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝?”是假命题，求实数m的取值范围． 解析：因为命题“A∩B＝?”是假命题，所以A∩B≠?. 设全集U＝{m|(－4m)2－4(2m＋6)≥0}， ?3? m≤－1或m≥?. 则U＝?m?2??? 假设关于x的方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负， m∈U，?? 则?x1＋x2≥0，??x1x2≥0， ? m∈U，?? 所以?4m≥0， ??2m＋6≥0， 3 解得m≥. 2 ?3? m≥?关于全集U的补集是{m|m≤－1}，所以关于x的方程x2－4mx又因为集合?m?2? ? ＋2m＋6＝0至少有一个负根时，m≤－1. 所以A∩B≠?时，实数m的取值范围是{m|m≤－1}． 基础达标 一、选择题 1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多彩撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，在这四句诗中，可以作为命题的是( ) A．红豆生南国 B．春来发几枝 C．愿君多采撷 D．此物最相思 解析：“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A. 答案：A 2．下列命题中假命题的个数是( ) ①有的实数是无限不循环小数 ②有些三角形不是等腰三角形 ③有的菱形是正方形 A．0 B．1 C．2 D．3 解析：在①中对于实数π是无限不循环小数，命题是真命题；在②中边长为3,4,5的三角形不是等腰三角形，命题是真命题；在③中有一个内角为90度的菱形是正方形，命题是真命题；所以，其中①②③全是真命题． 答案：A 3．下列命题中是假命题的是( ) A．若a>0，则2a>1 B．若x2＋y2＝0，则x＝y＝0 C．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 D．若sin α＝sin β，则不一定有α＝β 解析：当a＝b＝c＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列． 答案：C 4．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( ) A．这个四边形的对角线互相平分 B．这个四边形的对角线互相垂直 C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直 D．这个四边形是平行四边形 解析：将命题改写成“若一个四边形是平行四边形，则它的对角线既互相平分，也互相垂直”．则C正确． 答案：C 5．已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中，假命题是( ) A．若a∥b，则α∥β B．若α⊥β，则a⊥b C．若a，b相交，则α，β相交 D．若α，β相交，则a，b相交 解析：∵a⊥α，a∥b， ∴b⊥α， 又∵b⊥β， ∴α∥β，A为真命题； ∵a⊥α，α⊥β， ∴a∥β或a?β. 又∵b⊥β，∴b⊥a，B为真命题； 若α∥β，∵a⊥α，∴a⊥β， 又∵b⊥β，∴a∥b.与a，b相交矛盾，故C为真命题； 当α，β相交，a⊥α，b⊥β时，a，b可能相交，也可能异面，D为假命题． 答案：D 6．设α，β是两个不同的平面，m是一条直线，给出下列命题：①若m⊥α，m?β，则α⊥β；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β.则( ) A．①②都是假命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②都是真命题 解析：由两个平面垂直的判定定理知①是真命题．由m∥α，α⊥β知，m∥β或m?β或m与β相交，②为假命题． 答案：B 7．下列命题中为真命题的是( ) A．0是{0,1,2}的真子集 B．关于x的方程x2＋|x|－6＝0有四个实数根 C．设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2 D．若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1 解析：A中，0是集合{0,1,2}中的元素，不是真子集；B中，由x2＋|x|－6＝0，得|x|＝2，所以x＝±2，方程有两个实数根；C中，当c＝0时，ac2>bc2不成立；D中，因为a≠0，所以(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，是真命题． 答案：D 8．已知下列三个命题：
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