2018-2019年高考数学总复习:切线方程
考点一。导数的运算
1.求下列函数的导数：
(1)y＝(3x－4x)(2x＋1)； (2)y＝xsin x； (3)y＝3e－2＋e； (4)y＝ln(2x－5).
解：(1)∵y＝(3x－4x)(2x＋1)＝6x＋3x－8x－4x＝6x－5x－4x，∴y′＝18x－10x－4. (2)y′＝(x)′sin x＋x(sin x)′＝2xsin x＋xcos x.
(3)y′＝(3)′e＋3(e)′－(2)′＝3eln 3＋3e－2ln 2＝(ln 3＋1)·(3e)－2ln 2.
xxxxxxxxxxxx2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
2
2
xxxln x；(5)y＝x2＋1
1?2xlnx1?2x2lnxx?(4)y′＝. 2222(x?1)x(x?1)122
(5)令u＝2x－5，y＝ln u，则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝. 2x－52x－52x－52.(1)f(x)＝x(2 016＋ln x)，若f′(x0)＝2 017，求x0的值。 (2)若函数f(x)＝ax＋bx＋c满足f′(1)＝2，求f′(－1)的值。
1
解：(1)f′(x)＝2 016＋ln x＋x×＝2 017＋ln x，又f′(x0)＝2 017＋ln x0＝2 017，
4
2
x解得x0＝1.
(2)f′(x)＝4ax＋2bx，∵f′(x)为奇函数，且f′(1)＝2，∴f′(－1)＝－2.
3
考点二。导数的几何意义
命题点1 已知切点的切线方程问题
ln x－2x3.(1)求函数f(x)＝的图像在点(1，－2)处的切线方程。
x1－ln x解：(1)f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝2
x0.
，?1)处的切线方程。 （2）求曲线y?x3?3x2?1在点(1，?1)处斜率k?f?(1)??3，则切线方程为y?(?1)??3(x?1)，即解：f?(x)?3x2?6x在点(1y??3x?2．
（3）求斜率k=2的抛物线y?x2的切线方程。
解：设P(x0，y0)为切点，则斜率为y?|x?x0?2x0?2．∴x0?1．则切点(11)，．故切线方程为y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0.
（4）已知P，Q为抛物线x＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为__________．
解：y′＝x，y′|x＝4＝4，y′|x＝－2＝－2，∵P(4,8)，Q(－2,2)，∴过P， Q的切线方程分别为：y＝4x－8，
2
y＝－2x－2，联立方程解得y＝－4.
（5）已知f(x)在（1，f(1))处的切线方程为：y?1x?2，求f(1)?f?(1)的值。解：2f(1)?f?(1)?51??3 。 222（6）已知y=x+lnx在（1,1）处的切线与y?ax?(a?2)x?1相切，求a的值。 解：y??1?1，?k?2，则切线方程为：y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,又因切线与x?2x?y?1?0y?ax2?(a?2)x?1相切，则?，?ax2?ax?2?0，则2?y?ax?(a?2)x?1。 ??a2?8a?0，故a=8或a=0(舍）
（7）已知函数f(x)＝lnx＋2xf?(1)，求：（1）f′(1)； （2）在点P(1，f(1))处的切线方程。
1
解：（1）f′(x)＝＋2f′(1)曲线在(1，f(1))处切线方程的斜率k＝f′(1)，则f′(1)＝1
x＋2f′(1)，解得f′(1)＝－1，（2）f(1)＝ln1＋2×(－1)＝－2，所以切点(1，－2),所以切线方程为：y＋2＝－(x－1),化简得x＋y＋1＝0．
(8)已知f(x）满足:f(1?x)?2f(1?x)?x?3x?1,求f(x)在（1,1）处的切线方程。 解：f?(1?x)??2f(1?x)?2x?3，令x=0,则f?(1)??2f?(1)?3?f?(1)?1，则切线方程：y=x-2.
命题点2 未知切点的切线方程问题
4.(1)求与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x的切线方程。 (2)求过点(0，－1)且与f(x)＝xln x相切的直线方程。 0)且与曲线y?（3）求过点(2，116)且与y?x3?3x相相切的直线方程． （4）求过点A(0，x2
2切的直线方程．
（5）求过(1 （6）求过点P(1,2)与f(x)?x?x?2，?1)与曲线y?x3?2x相切的直线方程．相切的直线方程。
解：(1)对y＝x求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x0)，则切线斜率为k＝2x0. 由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xln x上，∴设切点为(x0，y0).又∵f′(x)＝1＋ln x，∴
??y0＝x0ln x0，??1＋ln x0?y0＋1
2
2
3x0，
解得x0＝1，y0＝0.∴切点为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln 1＝1.
∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0. （3）设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为y?|x?x0??即y?11．∴切线方程为y?y0??2(x?x0)，2x0x01111 0)，把它代入上述方程，得???2(2?x0)．??2(x?x0)．又已知切线过点(2，x0x0x0x01?1，即x?y?2?0． x0解得x0?1，y0?（4）设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0?x03?3x0．
因f?(x0)?3(x02?1)，故切线的方程为y?y0?3(x02?1)(x?x0)．点A(0，16)在切线上，则有16?(x03?3x0)?3(x02?1)(0?x0)．化简得x03??8，解得x0??2．所以，切点为M(?2，?2)，
切线方程为9x?y?16?0．
（5）设P(x0，y0)为切点，则斜率为y?|x?x0?3x02?2．∴切线方程为y?y0?(3x02?2)(x?x0)．y?(x03?2x0)?(3x02?2)(x?x0)．过点(1，?1)，代入
?1?(x03?2x0)?(3x02?2)(1?x0)．
解得x0?1，或x0??1．故所求切线方程为y?(1?22?)?(3x?2)，或
?1??3???1y????1????2??x??，即 x?y?2?0，或5x?4y?1?0．
2??8??4??（6）设切点(x0,y0)，则由f(x)?3x?1，在点(x0,y0)处的斜率k?f'(x0)?3x02?1，
2有在点(x0,y0)处的切线的方程为y?y0?(3x0?1)(x?x0)。又因为点(x0,y0)与点P（1，
'22）均在曲线C上，
2018-2019年高考数学总复习：切线方程
