21????5??x??2? xx???21????22 =x·x·?2x??5?·?x??2?=2x?5x?2x?2x?1
xx????2 =(x?1)(2x?1)(x?2)
2 =x?2t?5??t?2?=x?2x?2??????（2）x4?4x3?x2?4x?1
??411??1???2)=x2??x2?2??4?x???1? xxx??x????11 设x??y，则x2?2?y2?2
xx222 ∴原式=x(y?4y?3)=x(y?1)(y?3)
1122 =x2(x??1)(x??3)=?x?x?1??x?3x?1?
xx练习14、（1）6x4?7x3?36x2?7x?6
4322（2）x?2x?x?1?2(x?x)
解：原式=x2(x2?4x?1?
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式（1）x3?3x2?4
解法1——拆项。 解法2——添项。
原式=x3?1?3x2?3 原式=x3?3x2?4x?4x?4
22=(x?1)(x?x?1)?3(x?1)(x?1) =x(x?3x?4)?(4x?4) =(x?1)(x?x?1?3x?3) =x(x?1)(x?4)?4(x?1) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?4x?4) =(x?1)(x?2) =(x?1)(x?2)
（2）x9?x6?x3?3
解：原式=(x?1)?(x?1)?(x?1)
=(x?1)(x?x?1)?(x?1)(x?1)?(x?1) =(x?1)(x?x?1?x?1?1) =(x?1)(x?x?1)(x?2x?3)
练习15、分解因式
3（1）x?9x?8 （2）(x?1)?(x?1)?(x?1) 42422（3）x?7x?1 （4）x?x?2ax?1?a
22222963363333363326342242a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 （5）x?y?(x?y) （6）
6
444
七、待定系数法。
22例16、分解因式x?xy?6y?x?13y?6
分析：原式的前3项x?xy?6y可以分为(x?3y)(x?2y)，则原多项式必定可分为(x?3y?m)(x?2y?n)
解：设x?xy?6y?x?13y?6=(x?3y?m)(x?2y?n)
∵(x?3y?m)(x?2y?n)=x?xy?6y?(m?n)x?(3n?2m)y?mn ∴
222222x2?xy?6y2?x?13y?6=x2?xy?6y2?(m?n)x?(3n?2m)y?mn
?m?n?1?m??2?对比左右两边相同项的系数可得?3n?2m?13，解得?
n?3??mn??6?∴原式=(x?3y?2)(x?2y?3)
22例17、（1）当m为何值时，多项式x?y?mx?5y?6能分解因式，并分
解此多项式。
（2）如果x3?ax2?bx?8有两个因式为x?1和x?2，求a?b的值。
（1）分析：前两项可以分解为(x?y)(x?y)，故此多项式分解的形式必
为(x?y?a)(x?y?b) 解：设x?y?mx?5y?6=(x?y?a)(x?y?b)
则x?y?mx?5y?6=x?y?(a?b)x?(b?a)y?ab
222222?a?b?m?a??2?a?2???比较对应的系数可得：?b?a?5，解得：?b?3或?b??3
?ab??6?m?1?m??1???∴当m??1时，原多项式可以分解；
当m?1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)； 当m??1时，原式=(x?y?2)(x?y?3)
32（2）分析：x?ax?bx?8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，
因此第三个因式必为形如x?c的一次二项式。
32解：设x?ax?bx?8=(x?1)(x?2)(x?c)
32 则x?ax?bx?8=x?(3?c)x?(2?3c)x?2c
32 7
?a?3?c?a?7??∴?b?2?3c 解得?b?14， ?2c?8?c?4??∴a?b=21
22练习17、（1）分解因式x?3xy?10y?x?9y?2
（2）分解因式x?3xy?2y?5x?7y?6
（3） 已知：x?2xy?3y?6x?14y?p能分解成两个一次因式
之积，求常数p并且分解因式。 （4） k为何值时，x?2xy?ky?3x?5y?2能分解成两个一次
因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：习题大全 经典一： 一、填空题
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式： m-4m= . 3.分解因式： x-4y= __ _____. 4、分解因式：?x?4x?4=___________ ______。
5.将x-yn分解因式的结果为(x+y)(x+y)(x-y)，则n的值为 .
2222xy?xy2x?2yx?y?5,xy?66、若，则=_________，=__________。
2
2
3
2222222n
22
二、选择题
7、多项式15mn?5mn?20mn的公因式是( ) A、5mn B、5mn C、5mn D、5mn
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是( )
222232223a?3??a?3??a2?9a2?b2??a?b??a?b??A、 B、
8
3??2m?2m?3?mm?2???a2?4a?5?a?a?4??5m?? C、 D、
10.下列多项式能分解因式的是（ ）
22222
(A)x-y (B)x+1 (C)x+y+y (D)x-4x+4 11．把（x－y）－（y－x）分解因式为（ ）
A．（x－y）（x－y－1） B．（y－x）（x－y－1） C．（y－x）（y－x－1） D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（ ）
222
A．10abc＋6ac＋2ac＝2ac（5b＋3c）
222
B．（a－b）－（b－a）＝（a－b）（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
2
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）＝（a－2b）（11b－2a）
2
13.若k-12xy+9x是一个完全平方式，那么k应为（ ）
22
A.2 B.4 C.2y D.4y三、把下列各式分解因式：
22 14、nx?ny 15、4m?9n
2
16、
m?m?n??n?n?m? 17、a?2ab?ab
322?x18、
2?4??16x22229(m?n)?16(m?n) 19、；
9
五、解答题
20、如图，在一块边长a=6.67cm的正方形纸片中，挖去一个边长b=3.33cm的正方形。求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径
d?45cm，外径D?75cm，长l?3m。利用分解因式计算浇制一节这样
的管道需要多少立方米的混凝土？(?取3.14，结果保留2位有效数字)
l
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第(5)个等式。
(1) x2?1??x?1??x?1?(2) x4?1??x2?1??x?1??x?1?(3) x8?1??x4?1??x2?1??x?1??x?1?(4) x16?1??x8?1??x4?1??x2?1??x?1??x?1?(5) _________________________________________________
10
d D
(完整版)因式分解的常用方法(目前最牛最全的教案)
