必修五数列知识点整理+例题+练习（教师版）
一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
1．数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3?an,?,简记?an?.
2．数列?an?的第n项an与项数n的关系若用一个公式an?f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。 如
1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式为 ( C ) Ａ．an?n2?(n?1) B．an?n2?1 C．an?n(n?1)n(n?1) D．an? 222.数列3，-5，7，-9，11，…的一个通项公式是（ D ）
A．an?(?1)n?(2n?1),B．an?(?1)n?1?(2n?1),C．an?(?1)n?(2n?1),D．an?(?1)n?1?(2n?1)
3.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,?中，x的值为（ Ｄ ） A．10 B．11 C．12 D．13
4.数列?an?的通项公式为 an?3n2?28n,则数列各项中最小项是( B )
A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项
5.已知数列?an?是递增数列，其通项公式为an?n2??n,则实数?的取值范围是(?3,??) 6.已知an?n1*{a}，则在数列的最大项为__（答：）； (n?N)n2n?15625二、数列通项an与前n项和Sn的关系
?S11．Sn?a1?a2?a3???an??ai 2．an??i?1?Sn?Sn?1nn?1n?2
如：
1.若数列?an?的前n项和为Sn?n2，则（ A ）
A．an?2n?1
B．an?2n?1
C．an??2n?1
D．an??2n?1
?5,n?12.已知数列?an?的前n项和Sn?3?2n，则an＝ an??n?1
?2,n?2- 1 -
3．已知数列的Sn?n2?n?1，则a8?a9?a10?a11?a12=____100__。
??24.数列?an?的前n项和Sn?n?4n?1,，则an???2n?52n?1n?2
5.若数列?an?的前n项的Sn?3an?3，那么这个数列的通项公式为（ D ） 2A．an?2?3n?1 B．an?3?2n Ｃ．an?3n?3 Ｄ．an?2?3n 解：n=1时，a1?S1?3a1?3a1=6 233\n?2\时，an?Sn?Sn?1?(an?3)?(an?1?3)?an?3an?1?an?a1?3n?1?2?3n
226.已知数列?an?的前n项和Sn，分别求其通项公式.
1⑴Sn?3n?2 ⑵Sn?(an?2)28(an?0)
解析：⑴当n?1时,a1?S1?31?2?1，
当n?2时,an?Sn?Sn?1?(3n?2)?(3n?1?2)?2?3n?1
?1又a1?1不适合上式，故an??n?1?2?3(n?1)(n?2) (2)
111当n?1时,a1?S1?(a1?2)2,解得a1?2当n?2时,an?Sn?Sn?1?(an?2)2?(an?1?2)2
888所以(an?2)2?(an?1?2)2?0 所以(an?an?1)(an?an?1?4)?0 又an?0,所以an?an?1?4，可知?an?为等差数列，公差为4
所以an?a1?(n?1)d?2?(n?1)?4?4n?2，a1?2也适合上式，故 an?4n?2 1
7. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2)，a1＝2. 1
(1)求证：{S}是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．
n
【解】 (1)证明 ∵an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
11
且an＝－2Sn·Sn－1，∴Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1，Sn≠0，∴S－＝2(n≥2)．
nSn－1
111
又S＝a＝2，故数列{S}是以2为首项，以2为公差的等差数列． 11n
11
(2)由(1)知S＝S＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
n111
∴Sn＝2n.当n≥2时，有an＝－2Sn×Sn－1＝－，
2n（n－1）
- 2 -
1??2，n＝1，1
又∵a1＝2，不适合上式，∴an＝?
1
??－2n（n－1），n≥2.
?S1点拨：本例的关键是应用an???Sn?Sn?1否满足\n?2\的一般性通项公式。
(n?1)求数列的通项，特别要注意验证a1的值是(n?2)三、递推关系：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an
与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式． 如：
1.已知数列?an?适合：a1?1，an?1?2an，（1）写出前五项并写出其通项公式； an?2（2）用上面的数列?an?，通过等式bn?an?an?1构造新数列?bn?，写出bn，并写出?bn?的前5项。
解：（1）a1?1 ，a2? （2）bn?22222，a3?，a4?，a5?，……，an?； 3456n?122211111??， b1?，b2?，b3?，b4?，b5?． n?1n?2(n?1)(n?2)361015212.已知数列?an?中a1?2，an?1?3an?1，（n?N?）则a4的值为（ A ）
A．67 B．22 C．202 D．201 3.数列?an?中，a1?1,an?4.设an?1an?1?1，则a4? 5/3 111，(n?N?)，则an?1与an的大小关系是( C ) ????n?1n?22n?1A．an?1?an B．an?1?an C．an?1?an D．不能确定 解：因为an?1?an?11111?????0所以an?1?an，选Ｃ． 2n?22n?3n?12n?32n?25.已知数{an}的递推关系为an?1?2an?1，且a1?1求通项an。
解：∵an?1?2an?1 ∴an?1?1?2(an?1) 令bn?an?1
- 3 -
则数列{bn}是公比为2的等比数列
∴bn?b1qn?1即an?1?(a1?1)qn?1?2n ∴an?2n?1 总结提高
1．给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一 2．由Sn求an时，要分n=1和n?2两种情况
3．数列是一种特殊函数，因此通过研究数列的函数性质（单调性）来解决数列中的“最大项”与“和最小”等问题十分有效。
4．给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn?Sn?1?an （n?2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an。
四.等差数列
1. 等差数列的概念：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个数列就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差，用d表示。 2．递推关系与通项公式
递推关系：an?1?an?d通项公式：an?a1?(n?1)d推广：an?am?(n?m)d变式：a1?an?(n?1)d;a?a1d?nn?1a?amd?nn?m由此联想到点(n,an)所在直线的斜率。
特征：an?dn?(a1?d),即：an?f(n)?kn?m,(k,m为常数）an?kn?m，（k,m为常数)是数列?an?成等差数列的充要条件。
如
1.等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（ B ） A．40
B．53
C．63
D．76
2.在数列?an?中，a1?2,2an?1?2an?1，则a101的值为（D ） A．49
B．50
C．51
D．52
3.等差数列{an}中，a10?30，a20?50，则通项an? （答：2n?10）； 4.在等差数列?an?中a1?2，a2?a3?13， 则a4?a5?a6等于（ B ）
A．40 Ｂ．42 Ｃ．43 Ｄ．45
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解：a2?a3?2a1?3d?4?3d?13?d?3，a5?2?4?3?14,a4?a5?a6?3a5?42
85.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：?d?3）
36.设等差数列?an?的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn，若a11?0，S14?98，求数列
?an?的通项公式
解：由S14?98，得2a1?13d?14,又a11?a1?10d?0,解得d??2，a1?20 所以数列?an?的通项公式是：an?22?2n(n?N?)
7.已知数列?an?是等差数列，a10?10，其前10项的和S10?70，则其公差d等于( D )
A．?23B．?131C．32D． 38.数列?an?中，a1?1,a2?2?3,a3?4?5?6,a4?7?8?9?10……，那么a10?___505 ３．等差中项：
若a,b,c成等差数列，则b称a与c的等差中项，且b?充要条件。 如：
a2与a6的等差中项为5，a3与a7的等差中项为7，1.数列{an}为等差数列，则通项an等于2n?3
a?c；a,b,c成等差数列是2b?a?c的22.已知a?13?2,b?13?2,则a,b的等差中项为（A ）
A．3 B．2 C．
13 D．
12
3．若lg2,lg(2x?1),lg(2x?3)成等差数列，则x的值等于（ D ） A．1 B．0或32 C．32 D．log25 ４．前n项和公式：Sn?变式：
(a1?an)nn(n?1)d ； Sn?na1? 22a1?anSna1?a2??andd???a1?(n?1)?an?(n?1)?(?); 2nn22dd特征：Sn?n2?(a1?)n,即Sn?f(n)?An2?BnSn?An2?Bn(A,B为常数)是数列?an?22成等差数列的充要条件。 如
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