回扣9 计数原理
1．分类加法计数原理
完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，…，在第n类办法中有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法(也称加法原理)． 2．分步乘法计数原理
完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法(也称乘法原理)． 3．排列
(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Amn表示．
(3)排列数公式：Amn＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．
(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，An(nn＝n·－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Amn＝1. 4．组合
(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫
n！
，这里规定0！＝
?n－m?！
做从n个不同元素中取出m个元素的组合
m
数，用Cn表示．
(3)组合数的计算公式：Cm
n
Amn
＝m＝Am
n！n?n－1??n－2?…?n－m＋1?
＝，m！?n－m?！m！由于0！＝1，所以C0n＝1.
n(4)组合数的性质：①Cmn＝Cnm1Cm. n＋Cn
－
－m
m
；②Cn＋1＝
5．二项式定理
n1n
(a＋b)n＝C0na＋Cnan*＋…＋Cnnb(n∈N)．
－1
n
b1＋…＋Ckna
－k
bk
这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数Ckn(k＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的
nkk
Ckb叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表na
nkk示，即展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Ckb. na
－
－
6．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即
a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
1n1
(4)二项式的系数从C0n，Cn，一直到Cn，
－
Cnn.
7．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二
n项式系数相等，即Cmn＝Cn
－m
.
(2)增减性与最大值：二项式系数Ckn，当k<
n＋1
时，二项式系数是递增的；当k＞2
n＋1
时，二项式系数是递减的． 2
当n是偶数时，那么其展开式中间一项Tn2?1的二项式系数最大．
当n是奇数时，那么其展开式中间两项
Tn?1和Tn?1的二项式系数相等且最大．
2?1
2?1
(3)各二项式系数的和
(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等
12kn
于2n，即C0n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cn＝
2n.
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等
3于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋Cn＋024n1C5. n＋…＝Cn＋Cn＋Cn＋…＝2
－
1．关于两个计数原理应用的注意事项 (1)分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． (2)混合问题一般是先分类再分步． (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． (4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分
析更直观、清楚，便于探索规律． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．
(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 3．排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题排除法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价条件．
4．对于二项式定理应用时要注意
(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审
题时要仔细．
项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．
(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系．
(3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.
(4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.
1．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( ) A．224 B．112 C．56 D．28 答案 B
解析 根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名
1
女生1名男生的方法数为C28C4＝112.
2．5人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有( ) A．12种 B．24种 C．48种 D．60种 答案 C
解析 可先排甲、乙两人，有A22＝2(种)排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有A44＝24(种)排法，由分步乘法计数原理，得共有2×24＝48(种)排法，故选C. 3．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有( ) A．210种 B．420种 C．630种 D．840种 答案 B
解析 因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共
23有C15C4A3＝180(种)不同的选派方法；若选13出的3位教师是2男1女，则共有C25C4A3＝
240(种)不同的选派方法，所以共有180＋240＝420(种)不同的方案，故选B.
4．将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、清华大学、浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有( )
A．150种 B．180种 C．240种 D．540种 答案 A
解析 先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有
22
31C4C2C5＋C5＝25(种)，
2
再将三组全排列有A33＝6(种)，故总的方法数有25×6＝150(种)．
5．(2016·四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( ) A．24 B．48 C．60 D．72 答案 D
解析 由题可知，五位数要为奇数，则个位数只能是1,3,5.分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C1再将剩下3种选法，
的4个数字排列有A4则满足条件的4种排法，五位数有C1A43·4＝72(个)．故选D.
6.如图，花坛内有5个花
池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为( ) A．180 B．240 C．360 D．420 答案 D
解析 若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A5若5个花池栽了4种颜色的花卉，5种，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有
543A35种，所以最多有A5＋2A5＋A5＝420(种)．
7．某天连续有7节课，其中语文、英语、
物理、化学、生物5科各1节，数学2节．在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为( ) A．408 B．480 C．552 D．816 答案 A
解析 数学在第(1,2)节，从除英语外的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，
4故有C14A4＝96(种)排法；数学在第(2,3)节，
从除英语、生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1
1门安排在第4节，剩下的任意排，故有C13C3
A33＝54(种)排法；数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第1节时，其他任意排，故有A4当英语不在第1节时，4＝24(种)排法，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，
22
有C1故共有3×(24＋36)3A3A2＝36(种)排法，
＝180(种)排法；数学在第(6,7)节时，当英语在第一节时，其他任意排，故有A44＝24(种)排法，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语外的剩下的3门中选1门放在第5节，
13剩下的任意排，有C13C3A3＝54(种)排法，故
有24＋54＝78(种)排法，根据分类加法计数原理，共有96＋54＋180＋78＝408(种)排法．故选A.
8．设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( ) A．－15x4 B．15x4 C．－20ix4 D．20ix4 答案 A
42解析 由题可知，含x4的项为C26xi＝－
15x4.故选A.
1
x2－?n的展开式中，9．在二项式?所有二项x??式系数的和是32，则展开式中各项系数的和
为( )
A．32 B．－32 C．0 D．1 答案 C
解析 依题意得所有二项式系数的和为2n＝32，解得n＝5.
因此，令x＝1，则该二项展开式中的各项系1
12－?5＝0，故选C. 数的和等于?1??10．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a0＋a1＋a2＋…＋an＝126，那么?x－
?
1?n
的展开x?
式中的常数项为( ) A．－15 B．15 C．20 D．－20 答案 D
解析 令x＝1得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋2n－1＋＋
2＋…＋2＝2×＝2n1－2＝126?2n
2－1
2
n
1
6
＝128?2n1＝27?n＝6，又Tk＋1＝Ck6(x)
＋
－k
?－1?k＝Ckk3－k
， 6(－1)x
?x?
所以由3－k＝0，得常数项为－C36＝－20. 故选D.
11．已知等比数列{an}的第5项是二项式
?x＋1?4展开式中的常数项，则a3·a7＝?x?________. 答案 36
1
x＋?4的展开式的通项为Tk＋1＝Ck解析 ?4?x?x4
－2k
，
令4－2k＝0，得k＝2，∴常数项为C24＝6，即a5＝6.
2∵{an}为等比数列，∴a3·a7＝a25＝6＝36.
12．书架上原来并排放着5本不同的书，现要再插入3本不同的书，那么不同的插入方法共有________种． 答案 336
解析 由题意得3本不同的书，插入到原来的5本不同的书中，可分为三步，第一步：先插入第一本，插入到原来5本不同的书排成的一排所形成的6个间隔中，有A16＝6(种)方法；第二步：再插入第二本，插入到原来
6本不同的书排成的一排所形成的7个间隔
1
中，有A7＝7(种)方法；第三步：再插入第
三本，插入到原来7本不同的书排成的一排所形成的8个间隔中，有A18＝8(种)方法，共有6×7×8＝336(种)不同的插入方法． 13．某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分别乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有________种． 答案 24
解析 分类讨论，有2种情形．孪生姐妹乘
211坐甲车，则有C3C2C2＝12(种)乘车方式；孪11生姐妹不乘坐甲车，则有C13C2C2＝12(种)乘
车方式．根据分类加法计数原理可知，共有24种乘车方式．
14．已知(1＋2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋
a6x6，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝________.(用数字作答) 答案 729
解析 |a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|相当于(1＋2x)6的展开式中各项系数绝对值的和，令x＝1，得|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝36＝729.
?3x－1?n
15．如果?32?的展开式中各项系数之
?x?
1
和为128，则展开式中3的系数是________．
x答案 21
?3x－1?n
解析 ?32?的展开式中各项系数之
?x??3×1－1?nn
和为?32?＝2＝128，所以n＝7，
?1??3x－1?n?3x－1?7
所以?32?＝?32?，其展开式的
?x??x?
7
通项为Tk＋1＝Ck7(3x)
－
1??－k
·?3?k＝?x2?
C3k77?k(?1)xk7?5k3.由7－
5k
＝－3， 3
1
得k＝6，所以3的系数为(－1)6·31·C67＝21. x16．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为________． 答案 －210
解析 (x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开
2k2式的通项公式为Tk＋1＝Ck10(x－x)，对于(x
－x)k通项公式为
2kTm＋1＝Cmkx
－2m
2k
(－x)m＝(－1)mCmkx
－m
，
令2k－m＝3且m≤k≤10，m∈N，k∈N， 得k＝2，m＝1或k＝3，m＝3，(x2－x＋1)10
13
的展开式x3系数为C2(－1)＋C3(－10C2·10C3·
1)3＝－210.
回扣9 计数原理
