当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；ab同号2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a同左上加
当b?0时，?b?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．a,b异号2a异右下减异右下减
⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即
当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；a,b异号2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a
当b?0时，?b?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．ab同号2a同左上加
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
总结：
同左上加 异右下减
3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??a2x?bx?；c y?a2y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k；
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2. 关于y轴对称
y?a2x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?a2x?bx?；c
y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k； 3. 关于原点对称
y?a2x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??a2x?bx?；c y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x??h?；k 4. 关于顶点对称
2222b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；
2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k． n?对称 5. 关于点?m，22n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定
原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，b2?4ac方程ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?.
a2② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0； 2' 当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符
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号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；
??0 抛物线与x轴有两个交点 ??0 抛物线与x轴二次三项式的值可正、可零、可负 二次三项式的值为非负 二次三项式的值恒为正 一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 只有一个交点 ??0 抛物线与x轴一元二次方程无实数根. 无交点 下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：
y=2x2y=x2y=x22y= -x22y= -x2y=-2x2
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y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)224
黄冈中学初中数学二次函数知识点汇总
