1 ? （3）fZ(z)??????20(e?y?e?e)dy?1?2ey?1?12?1?e.
?f(x,z?x)dx
f(x,z??x?x?0,x?z?2x,?e, x)????0,其它. z z =2 x 当 z?0 时 fZ(z)?0 z=x z?0 时 fZ(z)? 所以
?0,? fZ(z)???zx ?z2?0 ?e?e,z?0,?zz2edx?e?x?z2?e?z
z?0.
六、（10分）（1）设X~U[0,1]，Y~U[0,1]且X与Y独立，求E|X?Y|； （2）设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y独立，求E|X?Y|.
解： （1）E|X?Y|?y 1 ???????x0????f(x,y)|x?y|dxdy
11??01(x?y)dxd?y??0x(?y)xd xdy x ?；
1 0 3 （2）因X,Y相互独立，所以Z?X?Y~N(0,2)
Z2?X?Y22?1 )~N(0,12 EX?Y?，所以E|X?Y|?2?.
七、（10分）设总体的概率密度为
??x??1,0?x?1,f(x;?)?? (??0)
其它.0,? 试用来自总体的样本x1,x2,?,xn，求未知参数?的矩估计和极大似然估计.
解：先求矩估计 ?1?EX? ????11??1?10?xd?x????1
X1?X?? 故?的矩估计为?
再求极大似然估计
n L(x1,?,xn;?)???xi?1ni?1??1i??(x1?xn)xl nn??1
lnL?nl?n??(?
dlnLd??nn1)??0
i???lnxi?1i 所以?的极大似然估计为
1??? ?. 1n?lnxini?1《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1） 设P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8，则A,B至少发生一个的概率为_________. （2） 设X服从泊松分布，若EX2?6，则P(X?1)?___________.
?1?(x?1),（3） 设随机变量X的概率密度函数为f(x)??4?0,?0?x?2,其他. 今对X进行8次独立观测，以Y表示观测值
大于1的观测次数，则DY?___________.
（4） 元件的寿命服从参数为
率为_____________.
1621100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概
162（5） 设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(?,?)，今随机地测量16个零件，得?Xi?8，?Xi?34.
i?1i?1在置信度0.95下，?的置信区间为___________.
(t0.05(15?)1.753t10,.025?(15) 2.1315)0.5P(A?B) 解：（1）0.8?P(B|A)? P(A?B)?P(BA)1?P(A)?P(B)?P(AB) 得 P(AB)?0.2
. 0?.2P(A)?2P(B?)1?.1 （2）X~P(?),6?EX22?DX?(EX)???? 故 ??2.
P(X?1)?1?P(X?1)?1?PX(??2 ?1?e?2?2e?2?1?3e.
210?)PX( ?58 （3）Y~B(8,p)，其中p?P(X?1)? DY?8?58?38?158?14(x?1)dx?
.
1100?1 （4）设第i件元件的寿命为Xi，则Xi~E()P(X? P(Y?100?1100X,?25),i?1,2,3,4,5. 系统的寿命为Y，所求概率为
?100,X?,55
5100)?e1 ?[P(X1?100)?]?[1?]e
?. （5）?的置信度1??下的置信区间为 S (X?t?/2(n?1)nX,?t?22/n?(2S1) n) X?0.5,S? t0.025211516[?Xi?16X]?2,S?1.4142,n?16
i?1(15?)2.13 15.所以?的置信区间为（?0.2535,1.2535）.
二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）
（1）A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A）(A?B)?B?A?B.
（B）(A?B)?A?B.
（C）(A?B)?AB?AB?AB. （2）设
X1,X2
F1(x),F2(x) （D）(A?B)C?(A?C)?(B?C). （ ）
是随机变量，其分布函数分别为
，为使
F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值
中应取 （A）a?325,b??5. （B）a?23,b?23. （C）a??132,b?2. （D）a?132,b?2.
（ ）
（3）设随机变量X的分布函数为FX(x)，则Y?3?5X的分布函数为FY(y)? （A）FX(5y?3). （B）5FX(y)?3. （C）F?3X(y5). （D）1?F3?yX(5). （ ）
Xi?101（4）设随机变量X1,X2的概率分布为 11 P1 i?1,2. 424 且满足P(X1X2?0)?1，则X1,X2的相关系数为?X?
1X2 （A）0. （B）14. （C）
12. （D）?1. （ ）
（5）设随机变量X~U[0,6],Y~B(12,14)且X,Y相互 雪夫不等式有P(X?3?Y?X?3) （A）?0.25. （B）?512. （C）?0.75. （D）?512. （ ）
解：（1）（A）：成立，（B）：(A?B)?A?B?A?B 应选（B） （2）F(??)?1?a?b. 应选（C） （3）FY(y)?P(Y?y)?P(3?5X?y)?P(X?(3?y)/5) ?1?P(3?y?y5?X)?1?FX(35) 应选（D）
（4）(X1,X2)的分布为
X2 X–1 0 1 1 –1 110 4 0 4 10 1 140 42 111 0 4 0 4 1 4 1 124 EX1?0,EX2?0,EX1X2?，所以0cov(X1,X2)?0， 于是 ?X?0. 应选（A）
1X2 （5）P(X?3?Y?X?3)?P(|Y?X|?3) E(Y?X)?EY?EX?0 D(Y?X)?DY?DX?3?9214?4
由切比雪夫不等式
独立，根据切
比215 P(|Y?X|?3)?1?4? 应选（D）
912
三、（8
分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为?的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买A种商品的概率为p，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。
解：设B?‘一天中恰有k个顾客购买A种商品’ k?0,1,? Cn?‘一天中有n个顾客进入超市’ n?k,??k?1,?
则 P(B)? ? ? ?
?n?kP(CB?)n??nkP(nC)P(Bn| C?nk??n?k?nn!ke??Cnp(1?p)
?kk(p?)k!ek???(n?k)!(1?n?k?n?kp)n?k
(?p)k!e??p k?0,1,?.
四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参
数?之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y的分布列. （2）
EY和DY.
(?(2)?0.97?7,?(1)0 .884?72 解：（1）Y~B(100,p)，其中p?P(60?X?84)??( ??(60?72)?2?(12?) 196?7224(??)?1 (?)
??3PX(? 由 0.02?9?6)??124??) 得 ?(24?)?0.977，即
??2，故
12??1
所以 p?2?(1)?1?0.6826.
kk100?k 故Y的分布列为P(Y?k)?C100(0.6826)(0.3174)
（2）EY?100?0.6826?68.26，DY?68.26?0.3174?21.6657.
2五、（10分）设(X,Y)在由直线x?1,x?e,y?0及曲线y?1x所围成的区域
上服从均匀分布，
（1）求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否独立. （2）求P(X?Y?2). 解：区域D的面积 SD?y (X,Y)的概率密度为
e12?1xdx?lnx1?2
e2y=1/x D 2 x ?1?, f(x,y)??2?0,?(x,y?)D其它.2
, （1）fX(x)???????11??xdy,f(x,y)dy??02?0,?1?x?e,其它.1?x?e其它.2
?1,? ??2x?0,?
, fY(y)???????e1??12dx,?11?fx(y,dx)???ydx,12????0,21?y?ee?2?2,?y?1,
其它1?y?ee?2?2?12?2(e??1? ??2y????0?1),12,?y?1
,其它 （2）因f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y不独立. （3）P(X?Y?2)?1?P(X?Y?2)?1?1211?1?243?4??x?y?2f(x,y)dxdy
?1??0?.7. 5
六、（8分）二维随机变量(X,Y)在以(?1,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z?X?Y的概率密度。
y ?1, 解1： (X,Y)的概率密度为f(x,y)???0,(x,y)?D,其它.
设Z的概率密度为fZ(z)，则
D1 fZ(z)?x –1 0 x+y=z 1 f(z?y,y)????1,??0,0?y?其它1,y2??1z??????f(?zy,y) dy
z 当 z??1或z?1时fZ(z)?0 y z?1z?11 当 ?1?z?1时f(z)?2dy? Z?02 y 所以Z的密度为
0 –1
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