不应该以教师的分析来代替学生的阅读实践，应让学生在主动积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，受到情感的熏陶，获得思维启迪，享受审美乐趣。因此，把自主权交给学生，引导学生说发现，说理解，说体验，在学生之间的互动互补中，感悟诗句，走进诗人的情感世界，读书的过程变成了学生自主发现和探索的有趣经历。）2.2.2 间接证明
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我夯基 我达标
1.实数a、b、c不全为0的条件为（ ） A.a、b、c均不为0B.a、b、c中至多有一个为0
C.a、b、c中至少有一个为0D.a、b、c中至少有一个不为0
思路解析:实数a、b、c不全为0的条件是a、b、c至少有一个不为0. 答案:D
22
2.x、y←R，且x+y=1，则（1-xy）（1+xy）有（ ）
3，无最大值.B.最小值1，无最大值. 413C.最小值，最大值1D.最大值1，最小值
24A.最小值
思路解析:设x=cosα,y=sinα,
则(1-xy)(1+xy)=(1-sinαcosα)(1+sinαcosα) =1-sinαcosα=1-22
2
12
sin2α. 43，1］. 4∵sin2α∈［0,1］,∴(1-xy)(1+xy)∈［答案:D
3.设a、b、c都是正数，则三个数a+
111，b+，c+（ ） bcaA.都大于2B.至少有一个大于2
C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2
111++c+b+ bca111=a++b++c+≥2+2+2=6.
abc思路解析:∵a+
所以a、b、c中至少有一个大于2. 答案:B
4.已知a、b、c都是正数，S=
abcd，则有（ ） ???a?b?ca?b?dc?d?ac?d?bA.0＜S＜1 B.1＜S＜2C.2＜S＜3 D.3＜S＜4 思路解析:S＞
abcd=1,且S＜???a?b?c?da?b?c?da?b?c?da?b?c?dabcd???=2. a?ba?bc?dc?d∴1＜S＜2. 答案:B
5.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.
证明：假设△ABC的三个内角A，B，C都小于60°,即∠A＜60°,∠B＜60°,∠C＜60°. 相加得∠A+∠B+∠C＜180°.
这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A,∠B,∠C都小于60°的假设不能成立,从而一个三角
不应该以教师的分析来代替学生的阅读实践，应让学生在主动积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，受到情感的熏陶，获得思维启迪，享受审美乐趣。因此，把自主权交给学生，引导学生说发现，说理解，说体验，在学生之间的互动互补中，感悟诗句，走进诗人的情感世界，读书的过程变成了学生自主发现和探索的有趣经历。）形中，至少有一个内角不小于60°.
22
6.求证：当x+bx+c=0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0. 证明：假设bc=0,则有三种情况出现：
222
（1）若b=0,c=0方程变为x=0,x1=x2=0是方程x+bx+c=0的根，这与已知方程有两个不相等的实根相矛盾.
22222222
（2）若b=0,c≠0,方程变为x+c=0,但当c≠0时，x+c=0;但c≠0时，x+c≠0与x+c=0矛盾,
2
（3）若b≠0,c=0,方程变为x+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b.这与已知条件方程有两个非零实根相矛盾.
综上所述，bc≠0.
7.证明：1，3，2不能为同一等差数列的三项.
证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d,则1=3-md，2=3+nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两式消去d,得n+2m=(m+n)3，因为n+2m为有理数，而（m+n)3为无理数，所以2m+n≠3(m+n)，因此，假设不成立，即1，3，2不能为同一等差数列的三项.
8.平面上有四个点，设有三点共线.
证明：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.
证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑点D在△ABC之内或之外有两种情况：
（1）如果点D在△ABC之内，（如图（1）），根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾. （2）如果点D在△ABC之外（如图（2）），根据∠A、∠B、∠C、∠D都大于90°， 这和四边形ABCD的内角和为360°相矛盾.综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立. 9.已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根. 证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=
b, a如果方程不是一个根，不妨设x1、x2是它的两个不同根，即ax1=b，① ax2=b，②
①-②得a(x1-x2)=0.
因为x1≠x2，所以x1-x2≠0，所以应有a=0，这与已知相矛盾，故假设不成立. 所以当a≠0时，方程ax=b有且只有一个根. 10.（精典回放）设y=f(x)是定义在区间［-1，1］上的函数，且满足条件：①f(-1)=f(1)=0;②对任意的μ、v∈［-1,1］,都有｜f(u)-f(v)｜≤｜μ-v｜ (1)证明：对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x; (2)证明：对任意的μ、v∈［-1,1］,都有
不应该以教师的分析来代替学生的阅读实践，应让学生在主动积极的思维和情感活动中，加深理解和体验，有所感悟和思考，受到情感的熏陶，获得思维启迪，享受审美乐趣。因此，把自主权交给学生，引导学生说发现，说理解，说体验，在学生之间的互动互补中，感悟诗句，走进诗人的情感世界，读书的过程变成了学生自主发现和探索的有趣经历。）｜f(u)-f(v)｜≤1;
(3)在区间［-1，1］上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得： ｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v｜，当μ、v∈［0, ｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v｜,当μ、v∈［
1］. 21,1］. 2若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.
（1）证明：由题设条件可知，当x∈[-1,1]时，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x. 即：x-1≤f(x)≤1-x.
（2）证明：对任意的u、v∈[-1，1].
当|u-v|≤1时，有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.
当|u-v|＞1时，有u·v＜0，不妨设u＜0，则v＞0,且v-u＞1,
所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1. 综上可知：对任意的u、v∈[-1,1]，都有|f(u)-f(v)|≤1.
(3)解：满足所述条件的函数不存在，理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由 |f(u)-f(v)|=|u-v|,u、v∈[得|f(
1,1], 2111）-f(1)|=|-1|=. 22211又f(1)=0,所以|f()|=
22又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0. 由条件|f(u)-f(v)|＜|u-v|,u,v∈[0,得|f(
1], 2111)|=|f()-f(0)|＜ . 22211这与|f()|=矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.
22我综合 我发展
11.在△ABC中，若∠C是直角，求证：∠B一定是锐角.
证明：假设∠B不是锐角，则∠B为直角或钝角，在△ABC中，∠A+∠B+∠C＞90°+90°+∠A＞180°.这与三角形的内角和为180°相矛盾. 从而∠B一定为锐角.
12.求证：2、3、5不可能成等差数列.
证明：假设2、3、5成等差数列，则有3-2=5-3，即23=2+5， 两边平方得：12=7+210，∴5=210，
两边再平方得：25=40显然不成立，从而假设不成立. ∴2、3、5不可能成等差数列.
13.如果一条直线和两条平行线中的一条是异面直线，且不与另一条直线相交，那么这条直线与另一条直线也是异面直线.
高中数学第2章推理与证明2-2直接证明与间接证明2-2-2间接证明自主练习苏教版选修1_2
