海南大学土木建筑工程学院、海南省力学学会
第二届力学竞赛试题
1、如图1所示，质量均为m的n（n＞3）个均质圆柱体依次搁置在倾角为30° 的斜面上，并用铅垂设置的铰支板挡住。若已知圆柱半径为R，板长为l，各圆柱与斜面和挡板之间的摩擦系数μ＝1/3，且不计各圆柱之间的摩擦，试求维持系统平衡时的最大水平力P。
图1
【解】先设圆柱On，由三力平衡汇交定理知其与斜面间摩擦力为零，依次判断，直到圆柱O2与斜面间摩擦力均为零。再研究圆柱O2,O3,...,On共n-1个柱体的整体平衡，由
有
N2?n?1mg 2?Fx?0
N2为圆柱O1与O2间的作用力。 再研究O1圆柱，受力如图，由
?mO1?0
有 F1?F1? 设AO?BO?a，由
?mO?0
2 N1a?mgR??1N?a RN当n?3时，N1??N1，可知A处先滑动，且F1???N1?。 由
?mB?0
??FR?1 N1?Rcos301?sin?R??30mg2NR sin30将N2代入，得
N1?? 所以
F1???N1??由?Fx??0
?0F?1cos?3N0 N1?N2cos3?53?3n???s?in30123?39mg
?n?3??43?1?mg
?mg
?n?3??123?1最后研究铰支板的平衡，由
?mO?0
Pl?N 13R所以
Pmax?R?5??4l?3n?3?1??3mg ???
2、如图2所示，偏心轮质量为m，偏心距OC＝e。轮对质心C的回转半径为ρc，置于光滑水平面上。初始时OC呈水平，质心C有一水平初速υ，轮的角速度为零。求当C点运动至最低位置时，水平面对轮的约束反力。
图2
【解】取质心平动参考系O1xy（图7），它以常速度v运动。质心C的相对速度vr沿y轴。由动能定理，有
图 7
111cos? JC?2?m?v2?vr2??mv2?mge222其中JC?m?c2。当质心C运动至最低点时，有 vr?0， ??0 故有
?2?此时运用相对质心的动量矩定理，有
JC??MC?0 故
??0 所以C点的加速度向上，为
aC?e?2 所以有
N?mg?maC 即
N?mg?me?2ge?c2
2ge2?C?2e2??mg?1?2?
???
3、图3所示对称桁架，受载荷P作用，己知各杆材料相同，横截面面积也相同，问有何办法可使各杆同时达到材料的许用应力[σ]?
图3
力学竞赛试题
