三角形中和差角公式的灵活运用

三角形中和差角公式的灵活运用

三角恒等变换常常在三角形中考查，主要题型有求角，求值，证明等。下面举例说明。 一、求角

例1、已知在△ABC中，sinA(sinB?cosB)?sinC?0,sinB?cos2C?0，求角 A、B、C的大小。

分析一：注意三角形中补角运用的降元意识，先从sinA(sinB?cosB)?sinC?0入手构建方程有思维方法一。

解：由sinA(sinB?cosB)?sinC?0，得sinAsinB?sinA?cosB?sin(A?B)?0 即sinB(sinA?cosA)?0，因为B?(0,?)，所以sinB?0，从而cosA?sinA， 由A?(0,?)知A?得sinB?cos2(?4，从而B?C?3?，由sinB?cos2C?0， 43??B)?0，即sinB?sin2B?0，亦即sinB?2sinBcosB?0， 41?5???5?由此得cosB?，所以B?,C?，所以A?,B?,C?.

23124312分析二：注意sinB?cos2C?0中有B、C两个元，可先试图寻求它们之间的关系，所以先从sinB?cos2C?0入手构建方程有思维方法二。

3?解：由sinB?cos2C?0，得sinB??cos2C?sin(?2C)，

23??3??由0?B??,0?C??，得B?即B?2C?或2C?B? ?2C或B?2C?，

2222由sinA(sinB?cosB)?sinC?0，得sinAsinB?sinA?cosB?sin(A?B)?0， 即sinB(sinA?cosA)?0，因为sinB?0，所以cosA?sinA，因为A?(0,?)知

3?3??，所以B?2C?不合要求，由2C?B?，

4422?5???5?得B?,C?，所以A?,B?,C?.

3124312A??，所以B?C?点评：三角函数公式比较多，相互联系比较紧密，所以变形的方法很灵活，大家要注意

比较解法的优劣，回味每种思维方法的产生过程，学会正确选择简单的方法，以达到快速解题的目的。

二、证明

例2、在△ABC中，已知C?90,A?B，求证：分析：将左端进行和差化积，再化简证明。 证明：由A?B?C??，所以

0cosA?cosBC?tan

sinA?sinB2A?B??C?C???， 2222A?BA?Bcos11CcosA?cosB22???tan. ?A?B?CA?BA?B2sinA?sinBtantan(?)2sincos222222cos所以原式成立。

点评：注意三角形内角和定理这一隐含条件。三角变换的显著特点是：公式多、变化杂，思维活，灵活性强。学习时要以三角变换为主体，注意三角形的载体功能，重视知识的综合应用。

三、判断形状

例3、在△ABC中，已知2sinAcosB?sinC，那么△ABC一定是____________.

分析：由三角形内角和定理，知C???(A?B)，然后根据两角和与差的三角函数公 式S(???)进行判断。

解：因为2sinAcosB?sinC?sin(A?B)， 所以2sinAcosB?sinAcosB?cosAsinB，

所以cosAsinB?sinAcosB?0，即sin(B?A)?0，由A、B、C为三角形的内角， 所以B=A，故△ABC是等腰三角形。

点评：判断三角形的形状经常在各类试题中出现，解决这类问题通常需要运用两角和与差的三角函数公式S(???)、C(???)、T(???)，并结合诱导公式加以解决。 专项训练题： 一、选择题

1、化简sin（A－B）cosB＋cos（B－A）·sinB的结果应为（ ）

A、1 B、cosA C、sinA D、sinAcosB 2、sin14cos16?sin76cos74＝（ ）

0000A、

3311 B、 C、－ D、－ 22223?，则2cos(??)等于（ ）

2547171A、 B、 C、－ D、－

55551?tanA??5，则cot(?A)的值为（ ） 4、已知

1?tanA43、设??(0,?)，若sin??A、－5 B、5 C、－二、填空题

5、tan19?tan26?tan19.tan26?_________。

000055 D、 556、log2(tan15?cot15)的值是_________。 三、解答题 7、求证：

00sin(2a??)sin? ?2cos(a??)?sinasina

答案与提示： 一、选择题

1、C 原式＝sin（A－B）·cosB＋cos（A－B）·sinB＝sin[（A－B）＋B]＝sinA . 2、B 原式＝sin14cos16?cos14sin16?sin(14?16)?sin30＝3、B 依题意可得cos??00000001. 24???，2cos(??)＝2cos?cos?2sin?sin 5444431＝cos??sin????.

555tan4、B 由已知

?4?tanA1?tan而cot(?4?tanA?tan(?A)?5，

4???A)＝tan[?(?A)]＝tan(?A)?5. 424400000???二、填空题

5、1 因为tan19?tan26?tan45[1?tan19.tan26]，所以原式＝1。

00006、2 因为tan15?tan(60?45)?2?3；所以cot15?1?2?3，所以 0tan15tan150?cot150?4，所以log2(tan150?cot150)＝log24?2

三．解答题 7、证明：左边＝

sinacos(a??)?cosasin(a??)?2cos(a??)

sinasinacos(a??)?cosasin(a??)?2sinacos(a??)＝

sinasin(a??)cosa?sinacos(a??)sin?＝??右边

sinasina