求极限的各种方法
1．约去零因子求极限
x4?1例1：求极限lim
x?1x?1【说明】x?1表明x与1无限接近，但x?1，所以x?1这一零因子可以约去。
(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6=4 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求极限
x3?x2例2：求极限lim
x??3x3?1【说明】
?型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ?1?1x3?x21x【解】lim3 ?lim?x??3x?1x??3?13x3【注】(1) 一般分子分母同除x的最高次方；
??0nn?1ax?an?1x???a0? (2) limnm???m?1x??bx?b???b0?amm?1xn??bn3．分子(母)有理化求极限
例3：求极限lim(x2?3?x2?1)
x???m?nm?n m?n【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】lim(x?3?x?1)?limx???22(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???
?lim2x?3?x?122x????0
例4：求极限limx?01?tanx?1?sinx 3x【解】limx?01?tanx?1?sinxtanx?sinx ?limx?03x3x1?tanx?1?sinx
?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx1?tanx?1?sinxlim1【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键
4．应用两个重要极限求极限
11sinx两个重要极限是lim?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，第
x??n??x?0x?0xnx1一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。
?x?1?例5：求极限lim??
x???x?1??【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑?数部分。
x?11??2?2?1??2?2??x?1??2???【解】lim???lim?1???lim??1?x?1??1????e x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????xx2x1，最后凑指X1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。
x???x????x??x?a?5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】
(1)常见等价无穷小有：
当x?0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~e?1,
xxx12bx,?1?ax??1~abx； 2(2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．
1?cosx~(3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 ．．．．．
xln(1?x)?
x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.
x?01?cosxx?012x2sinx?x例8：求极限lim
x?0tan3x例7：求极限lim2?1xsinx?xcosx?11sinx?x2?lim?lim??lim??【解】lim 322x?0x?0x?0x?0tan3x6x3x3x
6．用罗必塔法则求极限
lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求极限lim
x?0x2?0或型的极限,可通过罗必塔法则来求。 ?0?2sin2xsin2x?lncos2x?ln(1?sin2x)cos2x1?sin2x 【解】lim?limx?0x?0x22x【说明】
?limsin2x??21??????3 x?02x?cos2x1?sin2x?【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解
?例10：设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.
x?f(x?t)dt【解】 由于
?x0f(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是
0xx00xlim?x0(x?t)f(t)dtx0x?0x?f(x?t)dtx?limx?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0xx?0
?=limx?00f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=lim??x0x0f(t)dt0f(u)du?xf(x)xx?0
f(u)du?xf(x)?=limx?00f(t)dtxx?f(x)=
?x0f(u)duf(0)1?.
f(0)?f(0)27．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限
2x例11：极限lim[1?ln(1?x)]
x?02x2ln[1?ln(1?x)]xlim2ln[1?ln(1?x)]xlim2ln(1?x)x【解】 lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?0=ex?0?ex?0?e2.
【注】对于1?型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式
limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)
因为
limf(x)g(x)?elimg(x)ln(f(x))?elimg(x)ln(1?f(x)?1)?elim(f(x)?1)g(x)
1例12：求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.
3???????2?cosx?xln???3?【解1】 原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ?lim2x?0x1（??sinx）ln（2?cosx）?ln32?cosx ?lim ?limx?0x?0x22x11sinx1 ??lim???
2x?02?cosxx6【解2】 原式?limx?0e?2?cosx?xln???3?x3?2?cosx?ln???13?? ?limx?0x2ln（1? ?limx?0cosx?1）cosx?113 ?lim??22x?03x6x8．利用Taylor公式求极限
ax?a?x?2, ( a?0 ). 例13 求极限 lim2x?0xx22?1?xlna?lna??( x2),
2【解】 a?exxlna a?xx22?1?xlna?lna??( x2);
2 ax?a?x?2?x2ln2a??( x2).
ax?a?x?2x2ln2a??( x2)2?lim?lna. ? lim22x?0x?0xx11lim例14 求极限x?0(?cotx).
xx
【解】 limx?0111sinx?xcosx(?cotx)?lim x?0xxxxsinxx3x23x???(x)?x[1???(x2)]3!2!?lim 3x?0x113?)x??(x3)1?lim2!3!3?x?0x3.
(9．数列极限转化成函数极限求解
1??例15：极限lim?nsin?
n??n??【说明】这是1?形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。
1??【解】考虑辅助极限lim?xsin?x???x??x2n2?limex???1??x2?xsin?1?x???lim?ey?0?1?1?siny?1??2?yy???e
?161??所以，lim?nsin?n??n??n2?e
?1610．n项和数列极限问题
n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法 (1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算; (2)利用两边夹法则求极限.
?111????例16：极限lim?22n???n2?22n2?n2?n?1?? ??【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。
lim1??1??f???n??n???n?1?2??n??f?????f????f(x)dx ??0?n??n????1?111【解】原式＝lim?????222n??n??1??2??n?1???1????1???nn?????n?????? ???
经典求极限方法
