学 无 止 境
,
中档大题满分练四 )
1. (2019河北石家庄毕业班模拟)已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，且S5＝3a3，a4＋a6＝8.
(1)求an；
n(2)设bn＝2·an，求数列{bn}的前n项和Tn.
1．解： (1)由题意，数列{an}是等差数列，∴S5＝5a3. 又S5＝3a3，∴a3＝0，
由a4＋a6＝8＝2a5，得a5＝4， ∴a5－a3＝2d＝4，解得d＝2,
∴数列的通项公式为an＝a3＋(n－3)d＝2(n－3).
nn＋1
(2)由(1)得bn＝2·an＝(n－3)·2，
Tn＝(－2)×22＋(－1)×23＋0×24＋…＋(n－3)·2n＋1，
34n＋1n＋2
2Tn＝(－2)×2＋(－1)×2＋…＋(n－4)·2＋(n－3)·2，
n－1
8（1－2）234n＋1n＋2
两式相减得2Tn－Tn＝2×2－(2＋2＋…＋2)＋(n－3)·2＝8－＋(n1－2
n＋2n＋2
－3)·2＝(n－4)·2＋16，
n＋2
即Tn＝(n－4)·2＋16.
2. (2019福建龙岩毕业班教学质量检查)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Acos C＋csin Acos B＝
(1)求sin A；
(2)若a＝32，b＝4，求c.
2．解：(1)∵bsin Acos C＋csin Acos B＝
15a， 4
15sin A， 4
15a. 4
∴由正弦定理，得sin Bsin Acos C＋sin Csin Acos B＝∵sin A≠0，∴sin Bcos C＋sin Ccos B＝∴sin(B＋C)＝∴sin(π－A)＝
15， 4
15
， 4
1515，∴sin A＝. 44
(2)(方法一)∵△ABC为锐角三角形，∴A为锐角.
151
∵sin A＝，∴cos A＝. 44
1222
∵a＝32，b＝4，由余弦定理得(32)＝4＋c－2×4×c×，
4∴c－2c－2＝0，∴c＝3＋1.
(方法二)∵△ABC为锐角三角形，∴A，B为锐角， ∵a＝32，b＝4，
2
学 无 止 境
4×
154
∴由正弦定理得sin B＝∴cos B＝∵sin A＝
6. 6
bsin A30
＝＝， a632
151
，∴cos A＝. 44
30（3＋1）
，
24
∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝由正弦定理得c＝
asin C＝3＋1. sin A3. (2019山东潍坊三模)十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰．农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：
方案一：每台机器售价7 000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元；
方案二：每台机器售价7 050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元．
扶贫办需要决策在购买机器时应该选取哪种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：
保养次数 0 1 2 3 4 5 台数 1 10 19 14 4 2 记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数． (1)用样本估计总体的思想，求“x不超过2”的概率；
(2)若y表示1台机器的售价和三年使用期内花费的费用总和(单位：元)，求选用方案一时y关于x的函数解析式；
(3)按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用(总费用＝售价＋保养费)，以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择哪种销售方案购买机器更合算？
3．解：(1)从表中可以看出50台机器维修次数不超过2的有30台，故“x不超过2”
1＋10＋19
的概率P＝＝0.6.
50
(2)当x≤2时，y＝7 000；
当x>2，y＝7 000＋(x－2)×200＝6 600＋200x，
?7 000，x≤2（x∈N），?
故y关于x的函数解析式为y＝?
??6 600＋200x，x>2（x∈N）.
(3)在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为
50×7 000＋14×200＋4×200×2＋2×200×3＝355 600(元)．
7 112
∴每年每台平均费用为元．
3
在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为50×7 050＋4×100＋200×2＝353 300(元)．
7 0667 1127 066
∴每年每台平均费用为元．∵>，
333
∴扶贫办选择第二种方案更合算．
学 无 止 境
(2019湖南八市重点中学联盟第五次测评)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1
⊥平面ABC，AA1＝AC，∠ACB＝90°.
(1)求证：平面AB1C1⊥平面A1B1C.
(2)若∠A1AC＝60°，AC＝2CB＝2，求四棱锥A－BCC1B1的体积．
4．(1)证明：∵平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，∠ACB＝90°，
∴BC⊥平面ACC1A1.
∵A1C?平面ACC1A1, ∴BC⊥A1C. ∵B1C1∥BC, ∴A1C⊥B1C1.
∵四边形ACC1A1是平行四边形，且AA1＝AC， ∴四边形ACC1A1是菱形， ∴A1C⊥AC1.
∵AC1∩B1C1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1.
又A1C?平面A1B1C, ∴平面AB1C1⊥平面A1B1C.
(2)解：∵四边形ACC1A1是菱形，∠A1AC＝60°，AC＝2，
1
∴S△ACC1＝×2×2×sin120°＝3.
2
∵B1C1∥BC，B1C1＝BC，BC⊥平面ACC1A1，BC＝1，
113
∴VB1－ACC1＝×S△ACC1×B1C1＝×3×1＝，
333
23
∴VA－BCC1B1＝2VA－CC1B1＝2VB1－ACC1＝，
323
即四棱锥A－BCC1B1的体积为.
3
5. (2019河北石家庄毕业班模拟)在极坐标系中，曲线C的方程为ρcosθ＝asin θ(a>0)，以极点为原点，极轴所在直线为x轴建立直角坐标系，直线l的参数方程为2
?x＝2－t，?2
(t为参数)，l与C交于M，N两点． ?2
y＝－1＋t??2
(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)设点P(2，－1)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．
22
5．解： (1)由题意，曲线C的极坐标方程可化为ρcosθ＝aρsin θ，(a>0)，
??x＝ρcos θ，2
又由?可得曲线C的直角坐标方程为x＝ay(a>0)，
??y＝ρsin θ2
x＝2－t，
2
由直线l的参数方程为(t为参数)，消去参数t，得x＋y－1＝0，即直
2
y＝－1＋t2
2
?????
学 无 止 境
线l的普通方程为x＋y－1＝0.
2
?x＝2－t，?2
(2)把l的参数方程?代入抛物线方程中，得t－(4
2
y＝－1＋t??2
2
2＋2a)t＋(8＋2a)
＝0,
2
由Δ＝2a＋8a>0，设方程的两根分别为t1，t2，
则t1＋t2＝42＋2a>0，t1t2＝8＋2a>0，可得t1>0，t2>0. ∴|MN|＝|t1－t2|，|PM|＝t1，|PN|＝t2.
22
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，∴(t1－t2)＝t1t2，即(t1＋t2)＝5t1t2，
2
则(42＋2a)＝5(8＋2a)，解得a＝1或a＝－4(舍)， ∴实数a＝1.
6．(2019湖北武汉5月模拟)设函数f(x)＝|2x＋a|＋|x－1|－3. (1)当a＝4时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．
6．解：(1)当a＝4时，不等式f(x)≤6化为2|x＋2|＋|x－1|≤9.
当x≤－2时，不等式化为－2(x＋2)－x＋1≤9，即x≥－4，有－4≤x≤－2； 当－2 (2)f(x)＝|2x＋a|＋|x－1|－3≥2，即g(x)＝|2x＋a|＋|x－1|≥5. 当a＝－2时，g(x)＝3|x－1|≥5不恒成立； －3x＋1－a，x<1， ?a?－x－a－1，1≤x≤－ 2， 当a<－2时，g(x)＝? a3x＋a－1，x>－，??2 有g(x)min＝g?－?＝－－1≥5，即a≤－12. 2?2? ?a? a??a当a>－2时，g(x)＝? x＋a＋1，－≤x≤1， 2 ??3x＋a－1，x>1， －3x＋1－a，x<－， 2 有g(x)min＝g?－?＝＋1≥5，即a≥8. ?2?2 综上所述，a的取值范围为(－∞，－12]∪[8，＋∞)． a?a?a
中档大题满分练四.pdf
