同济大学(高等数学)_第四篇_无穷级数

所以收敛半径为 当时? 有

? 即收敛区间为

，由于级数

.

收敛，所以 级数

在

时也收敛.因此? 收敛

域为

?

例2 求幂级数

=

的收敛域?

解 因为

?

所以收敛半径为? 从而收敛域为?

例3 求幂级数的收敛半径?

解 因为

?

所以收敛半径为? 即级数仅在

处收敛?

例4 求幂级数

的收敛半径?

解 级数缺少奇次幂的项? 定理2不能应用? 可根据比值审敛法来求收敛半径?

幂级数的一般项记为

? 因为

?

当

即

时级数收敛? 当

即

时级数发散? 所以收敛半径为

?

3.3 幂级数的运算 设幂级数及

分别在区间

及

内收敛? 则在

与

的区间内有

加法? . 减法? .

乘法?

.

除法:

关于幂级数的和函数有下列重要性质： 性质1 幂级数的和函数在其收敛域上连续?

性质2 幂级数

的和函数

在其收敛域上可积? 并且有逐项积分公式

中较小

?

逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?

性质3 幂级数

的和函数

在其收敛区间

内可导? 并且有逐项求导公式

逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?

例6 求幂级数

的和函数?

? 设和函数为

? 即 ?

显然

? 在

的两边求导得：

?

?

解 求得幂级数的收敛域为

?

对上式从到积分? 得

?

于是? 当

时? 有

? 从而

?

提示? 应用公式? 即? ?

习题7-3

1．求下列幂级数的收敛区间 （1） （3） （5） （7）

； （2）

； （4）； （6）； （8）

； . ；

；

2. 利用逐项求导法或逐项积分法，求下列级数的和函数 （1）

; （2）

.

第4节 函数展开成幂级数

4.1函数展开成幂级数

给定函数

? 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”? 就是说? 是否能找到这样一个幂级数?

? 如果能找到这样的幂级数? 我们就说?函数?

，

能展

它在某区间内收敛? 且其和恰好就是给定的函数开成幂级数? 而该级数在收敛区间内就表达了函数

如果则当

在点时?

的某邻域内具有各阶导数 在点

的泰勒多项式

成为幂级数

这一幂级数称为函数

显然? 当定理 设函数的充分必要条件是

时?

的泰勒级数? 的泰勒级数收敛于

外?

在点

的某一邻域

?

?

内具有各阶导数? 则当

证明 先证必要性? 设

又设而

是

的泰勒级数的前

项的和?则在

内 ?

的阶泰勒公式可写成

对一切

，于是

?

再证充分性? 设

因为即

的阶泰勒公式可写成

内收敛? 并且收敛于? 得

?

此级数称为

要把函数第一步 求出

的麦克劳林级数?

展开成的幂级数，可以按照下列步骤进行：

的各阶导数?

处的值?

?

第三步 写出幂级数

?

并求出收敛半径R?

第四步 考察在区间(

内时是否

?

是否为零? 如果

? 则

在

内有展开式

?

?

?

成立? ? 于是

，

的泰勒级数在在泰勒级数中取

在

内能展开为泰勒级数? 即

?

?

在该邻域内能展开成泰勒级数

的泰勒级数是否收敛? 如果收敛? 它是否一定收敛于

时的极限为零? 即

需要解决的问题? 除了

的泰勒公式中的余项

第二步 求函数及其各阶导数在

例1 试将函数展开成的幂级数?

? 因此

?

?得到幂级数

解 所给函数的各阶导数为

该幂级数的收敛半径? 由于对于任何有限的数(介于0与之间)? 有

?

而

? 所以

? 从而有展开式

例2 将函数 解 因为所以

顺序循环地取

展开成的幂级数?

?

? 于是得级数

?

它的收敛半径为? 对于任何有限的数(介于0与之间)? 有

?

?

因此得展开式

例3 将函数解

的各阶导数为

所以

且

于是得幂级数

?

以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项.

例4 将函数展开成的幂级数? 解 已知

?

对上式两边求导得

展开成x的幂级数? 其中

为任意常数?

.

?

例5 将函数 解 因为

? 而

展开成的幂级数? 是收敛的等比级数

?

所以将上式从0到逐项积分? 得

上述展开式对连续?

常用展开式小结?

也成立? 这是因为上式右端的幂级数当

时收敛? 而

在

?

处有定义且

的和函数?

?

?

?

?

?

4.2 幂级数的展开式的应用

4.2.1 近似计算

有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.

例6 计算 解 因为

的近似值(误差不超过

)?

? 所以在二项展开式中取

? ?

这个级数从第二项起是交错级数， 如果取前差)

可算得

为了使误差不超过

? 只要取其前两项作为其近似值即可? 于是有

?

例7 利用

解 首先把角度化成弧度?

(弧度)

从而

(弧度)?

求

? 即

项和作为的近似值? 则其误差(也叫做截断误

的近似值? 并估计误差?