同济大学(高等数学)_第四篇_无穷级数

例4 判别级数解 因为

收敛性?

?

根据比值审敛法可知，所给级数收敛? 例5 判别级数解 因为

的收敛性?

?

根据比值审敛法可知,所给级数发散? 定理5 (根值审敛法? 柯西判别法) 设

是正项级数? 如果它的一般项

的n次根的极限等于

?

则当

时级数收敛? 当定理6（极限审敛法）设 （1）如果 （2）如果

，而

(或

为正项级数， （或

（

），则级数），则级数，由调和级数，当

发散； 收敛.

发散，知结论成立.

收敛，故结论成立.

)时级数发散? 当

时级数可能收敛也可能发散? ，即

证明 （1）在极限形式的比较审敛法中，取 （2）在极限形式的比较审敛法中，取例6 判定级数解 因

的收敛性.

，故

时，p?级数

，

根据极限审敛法，知所给级数收敛.

2.2 交错级数及其审敛法则

下列形式的级数

称为交错级数. 交错级数的一般形式为

定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数(1)

?

? 其中

?

满足条件?

(2) ?

? 其余项

，由

,

的绝对值

?

则级数收敛? 且其和

证明 设前项部分和为及

，

看出数列

设的? 且

因为

2.3 绝对收敛与条件收敛

对于一般的级数：

若级数

收敛，则称级数

绝对收敛；若级数

收敛， 而级数

发散? 则称级数

?

|也是收敛的交错级数? 所以

.

单调增加且有界

? 则也有

? 所以收敛?

?所以

，从而级数是收敛

条件收敛?

级数绝对收敛与级数收敛有如下关系：

定理8 如果级数证明 令

显然数

且也收敛.而

.因级数

.

收敛，故由比较审敛法知道，级数

，从而级

绝对收敛? 则级数

必定收敛?

，由收敛级数的基本性质可知：

，

所以级数收敛.

，如果我们用正项级数的审敛法判定级数

收敛，则此级数收

定理8表明，对于一般的级数

敛.这就使得一大类级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛性判定问题.

一般来说，如果级数判定级数

发散? 我们不能断定级数

也发散? 但是? 如果我们用比值法或根值法

也不趋

发散? 则我们可以断定级数

也是发散的?

的收敛性? ? 而级数

必定发散? 这是因为? 此时|un|不趋向于零? 从而

向于零? 因此级数

例7 判别级数 解 因为|敛?

例8 判别级数

是收敛的? 所以级数也收敛? 从而级数绝对收

（为常数）的收敛性?

解 因为

?

所以当发散.

时，级数均收敛；当时，级数绝对收敛；当时，级数

习题7-2

1. 用比较审敛法判定下列级数的收敛性： （1） （3） （5）

； （2） ； （4）

.

；

；

2. 用比值审敛法判定下列级数的敛散性: （1） （3）

; （2）

; （4）

;

.

3. 判定下列级数的敛散性: （1） （3） （5）

; （2）

; （4）.

;

;

4. 判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ （1） （3）

; （2） ; （4）

.

;

第3节 幂级数

3.1 函数项级数的概念

给定一个定义在区间I 上的函数列

? 由这函数列构成的表达式

,

称为定义在区间上的(函数项)级数? 记为

对于区间内的一定点项级数

函数项级数

发散? 则称点

? 若常数项级数是级数

?

收敛? 则称点

的发散点?

是级数

的收敛点? 若常数

的所有收敛点的全体称为它的收敛域? 所有发散点的全体称为它的发散域?

的和是的函数

?

称为函数项级数? 即

?

的和函数? 并写

在收敛域上? 函数项级数成

? 函数项级数

的前项的部分和记作

在收敛域上有

函数项级数

. 的和函数

与部分和

的差

叫做函数项级数的余项? 并有?

3.2 幂级数及其收敛性

函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都是幂函数的函数项级数? 这种形式的级数称为幂级数? 它的形式是

?

其中常数

叫做幂级数的系数?

，当当

时收敛? 则适合不等式

时发散? 则适合不等式

的一切x

定理1（阿贝尔定理) 对于级数使这幂级数绝对收敛? 反之? 如果级数

的一切使这幂级

数发散?

证 先设

是幂级数

的收敛点? 即级数? 使

?

这样级数

的的一般项的绝对值

?

因为当

时? 等比级数

收敛? 所以级数

收敛? 也就是级数

收敛? 根据级数收敛的必要条件?有

? 于是存在一个常数

绝对收敛?

定理的第二部分可用反证法证明? 倘若幂级数当

时发散而有一点

适合

使级数收敛? 则根据本定理的第一部分? 级数当

时应收敛? 这与所设矛盾? 定理得证? 推论 如果级数定的正数 当 当

当正数级数在

、若幂级数定收敛半径

定理2 如果

存在? 使得

时? 幂级数绝对收敛? 时? 幂级数发散? 与

时? 幂级数可能收敛也可能发散?

的收敛半径? 开区间

叫做幂级数

的收敛域是

的收敛区间? 再由幂

或

、

不是仅在点

一点收敛? 也不是在整个数轴上都收敛? 则必有一个完全确

通常叫做幂级数

处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数

之一?

只在

收敛? 则规定收敛半径

? 、

是幂级数

? 若幂级数对一切都收敛? 则规

? 这时收敛域为

? 其中

的相邻两项的系数? 则这幂级数的收敛半径

?

证明

?

(1) 如果 (2) 如果

(3) 如果例1 求幂级数 解 因为

?

, 则只当

时幂级数收敛? 故

?

?

?

? 则幂级数总是收敛的? 故? 则只当

时幂级数收敛? 故

的收敛半径与收敛域?