练习题1
一、单项选择题（本大题共10 题，每题3分，共 30分）
1、函数f(x)?1ln(1?x2?y2)定义域是( ). A、x2?y2?1且x2?y2?0； B、x2?y2?1； C、x2?y2?1；D、x2?y2?1且x2?y2?0. 2、limxyx?( y? ).
?00sinxyA、 0； B、 ∞； C、不存在； D、 1. 3、点（-3，1，-5）在（ ）.
A、第四卦限； B、第五卦限； C、第六卦限； D、第七卦限 4、函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处有偏导数是该函数在P0点可微的（） .
A、必要条件； B、 充分条件；C、充要条件； D、既非充分也非必要条件
5、已知方程y-lnzx=0确定函数z=z(x,y),则?2z?x?y=（ ）.
A、0； B、x； C、ey； D、xey 6、设积分区域G：x2+y2+z2≤R2，则三重积分???Gf(x,y,z)d?在柱面坐标下的累积分为（A．?2?d??RdR2??200???R2??2f(?cos?,?sin?,z)?dz；
B．?2?RR2??20d??0d???R2??2f(?cos?,?sin?,z)dz； ．?2?d??Rd??R2??2C000f(?cos?,?sin?,z)?dz；
D．?2?d??RR00d???Rf(?cos?,?sin?,z)?dz.
?7、无穷级数?(?1)nn!是（ ） n?1nnA、条件收敛； B、绝对收敛； C、发散； D、敛散性不确定的.
8、设二元函数f(x,y)连续，D是由y?0,y?x及x?1围成的闭区域,
则下面等式正确的是（ ）
A、??f(x,y)d???1dx?yf(x,1x0y)dy; B、??f(x,y)d???dx?f(x,y)dy;
D0D00C、??f(x,y)d???1dx?0f(x,y)dy; D、??f(x,y)d???x10x0dx?0f(x,y)dy.
DD9、z?f(x,y)在点(x,y)存在偏导数是z?f(x,y)在点(x,y)处连续的（ ）
A、充分条件； B、必要条件；
C、充要条件； D、既不充分又不必要. ?10、设无穷级数?1n?1n3?p收敛，则（）
）
A．p>1； B．p<3； C．p>2； D．p<2.
二、填空题（本大题共10 题，每题3分，共 30 分） 1、设z?e,xy则?2z?x2?。
x?1y?22、
x2?y2?1??(x2?y2)d??。
1y?11?y23、I??0dy??f(x,y)dx交换积分次序后，I?。
4、已知向量α={k,2,-1}和β={2,-1,-1}垂直，则常数k=_________。 5、函数f(x)=e展开成x的幂级数为______。
?16、级数?(?1)n?1是______ （填绝对或条件）收敛。
nn?17、设f(x)为连续函数，F(t)??dy?f(x)dx，则2F?(2)?f(2)=_______。
1ytt1x28、z??x2?y2在_____处有极小值。
?3z9、设z?xy?3xy?xy?1，则3?_________。
?x10、设L是抛物线y?x2上的点(0,0)与点(1,1)之间的一段弧，则?322Lyds=________。
三、计算题（本大题共5题，每题8 分，共 40 分）
1、设积分区域Ω由上半球面z=
1?x2?y2及平面z=0所围成，求三重积分
???zdxdydz.
?2、计算曲面积分??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS其中?为锥面x2?y2?z2介于平面z?0及
?z?h(h?0)之间部分的下侧，cos?,cos?,cos?是?在点(x,y,z)处的法向量的方向余
弦。
xn3、求幂级数?的和函数。
n?1n?0?4、已知曲线积分?L2f(x)ydx?f(x)dy与积分路径无关，且f(0)?1，求
f(x)，并计算
?(1,1)(0,0)2f(x)ydx?f(x)dy的值.
?1???x?05、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[??,?)上的表达式为f(x)??
?10?x???将f(x)展成傅里叶级数。
答案
一、单项选择题（本大题共10 题，每题3分，共 30分）
1、A; 2、D； 3、C； 4、A；5、C； 6、A；7 、B； 8、B； 9、D； 10、D. 二、填空题（本大题共10 题，每题3分，共 30 分）
??01?x?1n1x. 1、4e； 2、 ； 3、 ?dx?f(x,y)dy； 4、 ； 5、?n?1x?122n?0n!2226、条件； 7、f(2)； 8、（0,0）； 9、6y2； 10、12(55?1) 三、计算题（本大题共5题，每题8 分，共 40 分）
1、解：???zdxdydz??0d??0rdr?0?102?11?r2zdz （4分）
???r(1?r2)dr （2分）
??4（2分）
2、解：因曲面?不是封闭曲面，故不能直接利用高斯公式。若设?1为
z?h(x2?y2?h2)的上侧，则?和?1构成一本封闭曲面，记它们围成的空间闭区域
222为?，利用高斯公式，便得ò??(xcos??ycos??zcos?)dS=2???(x?y?z)dv
???1??2??dxdy?Dxyhx?y22(x?y?z)dz，其中Dxy?{(x,y)|x2?y2?h2}.注意到 （2分）
Dxy??dxdy?hx2?y2(x?y)dz?0即得 （2分）
12222222(h?x?y)dxdy==?h。而（2分） (xcos??ycos??zcos?)dS??ò??2Dxy???1??(x?12cos??y2cos??z2cos?)dS=??z2dS=??h2dxdy=?h4。
?1Dxy因此??(x2cos??y2cos??z2cos?)dS???h4。（2分）
?12|3、解： 先求收敛域。由limn??an?1n?1|?lim?1 得收敛半径R?1。 n??ann?2(?1)n在端点x??1处，幂级数成为?，是收敛的交错级数；在端点x?1处，幂级
n?0n?1?数成为?1发散的。因此收敛域为I?[?1,1)。 （2分） n?1n?0???xnxn?1,x?[?1,1) ；于是xs(x)??, 逐项求导的 设和函数为s(x)，即s(x)??n?1n?1n?0n?0xn?11(xs(x))???()??(|x|?1)。对上式积分得到 （4分）
1?xn?0n?1?1dx??ln(1?x)(?1?x?1) 01?x1于是当x?0时，有s(x)??ln(1?x)。而s0?a0?1。故
xxs(x)??x?1??ln(1?x)x?[?1,0)U(0,1) （2分） s(x)??x?1x?0?4、解由格林公式
?Q?P?即f?(x)?2f(x)解得f(x)?Ce2x，又f(0)?1得C?1所以 ?x?yf(x)?e2x。 （2分）
原式可写作?(0,0)2f(x)ydx?f(x)dy??(0,0)2eydx?edy??0[(2x?1)e2x]dx
2x2x(1,1)(1,1)1??2xedx??e2xdx（4分）
2x0011?112(e?1)??e2xdx 02?e2 （2分）
5．解：所给函数满足收敛定理的条件，它在点x?k?(k?0,?1,?2,......)处不连续，在其他点连续，从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛，并且当x?k?时级数收敛于0，当x?k?(k?0,?1,?2,......)时级数收敛于f(x)。 （2分） 计算傅里叶系数如下：
an?????1?f(x)cosnxdx?0，bn?????1??4?f(x)sinnxdx??n???0n?1,3,5,...n?2,4,6... （4分）
将求的系数带入，得
f(x)?11[sinx?sin3x?...?sin(2k?1)x?...] ?32k?14=
1sin(2k?1)x(???x??;x?0,??,?2?,...) （2分） ??k?12k?14?练习题2
一、单项选择题（本大题共 10 题，每题3分，共 30 分） 1、设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点( ).
A、极限存在B、连续C、可微D、以上结论均不成立 2、在空间中,下列方程( )为旋转抛物面.
A、x?4y?z?25B、3(x?y?z)?1 C、z?3(x?y)D、3(x?y)?z?0
222222222?3、设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)?().
f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)lim B、?x?0 ?x?xf(x,y)?f(x0,y0)f(x,y0)?f(x0,y0)limlimC、x?x0 D、x?x0 x?x0x?x0limA、?x?04、设Ｄ由x轴、y?lnx,x?e围成，则??f(x,y)dxdy?(D).
A、C、
?e1dx?lnx0f(x,y)dyB、?dx?01elnx01f(x,y)dy
?dy?01ey0f(x,y)dxD、 ?0dy?eyf(x,y)dx
5、二元函数z?f(x,y)在(x0,y0)处可微的充分条件是（ ）. A、f(x,y)在(x0,y0)处连续
B、fx?(x,y)，fy?(x,y)在(x0,y0)的某邻域内存在
C、?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y当(?x)2?(?y)2?0时，是无穷小
?z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?ylim?0 D、?x?022(?x)?(?y)?y?06、设
xz?z?ln,则等于（ ）. zy?xz2zzyzA、B、C、D、
y(x?z)x?yx?yx?z7、设?：z?x2?y2,z?4所围成的闭区域，则三重积分I????zdV等于（ ）.
A、4?C、??02?0d???d??2zdz B、?0142?0?d???d??2zdz
02?4?2?d??d??2z?2dz D、?0142?0?d???2d??2zdz
024?8、球面x2?y2?z2?4a2与柱面x2?y2?2ax所围成的立体体积V=（ ）.
A、4?2d??02acos?0?4a?rdrB、4?2d??0222acos?0r4a2?r2dr
2acos?0?C、8?2d??02acos?0?r4a?rdr D、?222??d??2r4a2?r2dr
9、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则??Pdx?Qdy?(L)
?P?Q?Q?P?)dxdyB、??(?)dxdy ?y?x?y?xDD?P?Q?Q?P)dxdyD、??(?)dxdy C、??(??x?y?x?yDDA、??(10、设limnun?0, 则?un（ ）
n??n?1?A、收敛 B、发散 C、不一定 D、绝对收敛
二、填空题（本大题共8 题，每题3 分，共 24 分） 1、曲面z?x2?y2?0在点(1,1,2)处得切平面方程是.
2、平面?:Ax?By?Cz?D?0平行于坐标面yoz的条件是. 3、前n项和sn有界是正项级数
???un?1n收敛的条件.
4、z=loga(x2?y2)(a?1)的定义域为D=.
?x??(t)5、设曲线L的参数方程表示为??y??(t)?16、级数?的和为.
n?1n(n?1)7、函数z?4(x?y)?x2?y2的极大值.
(??x??),则弧长元素ds?.
8、设?是球面x2?y2?z2?4被平面z?1截出的顶部，则曲面积分???dS?. z三、计算题（本大题共5题，每题7 分，共35分）
1、计算I?zdxdy，其中?为球面 x2?y2?z2?1 的x?0,y?0部分的外侧.
???2、计算I????(x2?y2)dV，其中?是由x2?y2?2z及z?2所围成的空间闭区域.
?n2n3、求幂级数?x的收敛区间及和函数.
n?1n!4、计算òy2dydz?x2dzdx?2xzdxdy,其中?是x?0,y?0,z?0及x?y?z?1所围成立体的外
????侧.
5、判别级数?n?1?(?1)n?1?n?1sin?n?1 是否收敛？如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
四、应用题（本大题共1题，每题6分，共6分）
1111求函数u?xyz在附加条件下???(x?0,y?0,z?0,a?0)的极小值.
xyza五、证明题（本大题共1 题，每题5分，共5分）
证明抛物面z?1?x2?y2上任一点处的切平面与曲面z?x2?y2所围成的立体的体积为一定值.
答案
一、单项选择题（本大题共10题，每题3分，共30分）
1、D 2、D 3、B 4、A 5、D 6、B 7、B 8、B 9、D 10、C 二、填空题（本大题共8 题，每题3 分，共 24 分）
1、2x?2y?z?2?0 2、B?C?0,A?0,D?03、充要 4、{(x,y)|x2?y2?1}
5、ds???2(t)???2(t)dt 6、1 7、8 8、4?ln2或2?ln4 三、计算题（本大题共5 题，每题7 分，共 35 分）
1、解：将?分为上半部分?1:z?1?x2?y2和下半部分?2:z??1?x2?y2，
?1,?2在面xoy上的投影域都为：Dxy:x2?y2?1,x?0,y?0, 2分
于是： ??zdxdy???1?x2?y2dxdy 2分
?1Dxy极坐标???02d??101??2??d???6；
所以 ??zdxdy???3 3分
2、I?柱面坐n?2?0222?2116?d??rdr?12r2dz??d??r3(2?r2)dr?. 7分
0r00232ann23、解:收敛半径R?lim?lim(n?1)???
n??an??(n?1)2n?1收敛区间为(??,??) 2分
?令s(x)??n2xn?，则s(x)?xnxn?1 n?1n!?n?1(n?1)!?令g(x)??nxn?1
n?1(n?1)!??则?x0g(x)dx?xn?xn?1(n?1)!?xn?1?=xex 2n?1(n?1)!所以g(x)?(xex)??(x?1)ex，故S(x)?x(x?1)ex，???x???4、令P?y2，Q?x2，R?2xz，则
?P?x?0 ，?Q?y?0，?R?z?2x 2 由GaussI?2???xdV?2?1dx1?x1?x?y1?0?0dy?0xdz?12 55、令u(?1)n?1n??n?1sin?n?1 2(?1)n?2sin?则limun?1?n?2n?2n??u?limn??(?1)n?1n1sin??1??1 3?n?n?1所以原级数收敛且是绝对收敛的。 2
四、应用题（本大题共1题，每题6分，共6分）
作拉格朗日函数L(x,y,z)?xyz??(1111x?y?z?a) 1令 Lx(x,y,z)?yz??x2?0
分分 分 分 分
分
分 分
3Ly(x,y,z)?xz??y2?0
Lz(x,y,z)?xy??z2?0 3分
得x?y?z?3a.再用二元函数极值的充分条件判断的u?xyz在(3a,3a,3a)的极小值为27a3
2分
五、证明题（本大题共1 题，每题5 分，共 5 分）
设P0(x0,y0,z0)为抛物面z?1?x2?y2上的任意一点，则点P0处的切平面方程为：
22z?z0?2x0(x?x0)?2y0(y?y0),且z0?1?x0?y0
22??z?2xx0?2yy0?x0?y0?1 该切平面与曲面z?x?y的交线为：?， 22??z?x?y22 消去z得：(x?x0)2?(y?y0)2?1，故所求体积为： 1分
V?(x?x0)2?(y?y0)2?1??22[2x0x?2y0y?x0?y0?1?(x2?y2)]d?
?(x?x0)2?(y?y0)2?1??[1?(x?x0)2?(y?y0)2]d? 2分
y?y0??sin?得： 2分
令x?x0??cos?,V??
2?0d??(1??2)?d??01?2,即体积为定值。
高数第二册练习题
