第7章 弹性杆件横截面上的正应力分析
7－1 桁架结构受力如图示，其上所有杆的横截面均为20mm×50mm的矩形。试求杆CE和杆DE横截面上的正应力。
15kN5kN4m4 解：图（a）中，cos?? （1）
53m 截面法受力图（a） ?5kN15kN ?MD?0，FCE?4?(15?5)?3?0 （2） C?D FCE = 15 kN
FDE ?Fx?0，FDEcos??40 （3） （1）代入（3），得FDE = 50 kN
3FCE
(a) FCE15?10??15MPa
A0.02?0.05F习题7-1图
?DE?DE?50MPa
A 7－2 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度p= 10kN/m，在自由端D处作用有集中呼FP = 20 kN。已知杆的横截面面积A = 2.0×10-4m2，l = 4m。试求：
40FNx(kN) 1．A、B、E截面上的正应力； A 2．杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。
E 解：由已知，用截面法求得 30 FNA = 40 kN FNB = 20 kN C20 FNE = 30 kN
FNA40?103B （1）?A???200MPa ?4A2.0?10FD ?B?NB?100MPa
A(a) F ?E?NE?150MPa
A （2）?max??A?200MPa（A截面）
习题7-2图
7－3 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试： 1．写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；
2．若已知d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec = 105GPa和Ea = 70GPa，FP = 171 kN。试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解：1．变形谐调：
FNcF （1） ?Na
EcAcEaAa FNc?FNa?FP （2）
∴ ?CE? FNc? FNa?EcAcFP
EcAc?EaAaEaAaFP
EcAc?EaAaFNcEcFPEcFP???c?A?EA?EA?πd2πcccaa?Ec??Ea?(D2?d2)?44 ∴ ?
EaFP???FNa??aAaπ(D2?d2)πd2Ec?Ea?44? 2． ?c?习题7-3图
4?105?109?171?103105?109?π?0.0252?70?109?π?(0.062?0.025)2E70 ?a??ca?83.5??55.6MPa
Ec105?83.5MPa
7－4 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。试：
1．导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h和Ea、Es之间的关系式；
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2．已知FP = 385kN；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm，b1 = 20mm，h = 50mm。求铝板与钢板横截面上的最大正应力。 解：变形谐调：
FF Ns?Na （1）
EsAsEaAa FNs?FNa?FP
EsAs??FNs?EA?EAFP?ssaa ?
EAaa?F?FPNa?EA?EAssaa??FNsEsFPEsFP 1． ?s? ??AsEsb0h?Ea?2b1hb0hEs?2b1hEa（2）
习题7-4图
?a??FNaEaFP ??Aab0hEs?2b1hEa?200?09?385?103 2． ?s???175MPa（压）
0.03?0.05?200?109?2?0.02?0.05?70?109?175Ea70 ?a???175??61.25MPa（压）
Es200 7－5 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h与b的比值：
1．横截面上的最大正应力尽可能小； 2．曲率半径尽可能大。
MMz6Mz 解：1．??z? ?Wzbh2b(d2?b2)6
dWzd?(bd2?b3)?d2?3b2?0 dbdb b?3d 322d 3习题7-5图
h2?d2?b2?h ∴ ?2（正应力尽可能小）
bM1 2． ?z
?zEIzbh3d2?h2h3 Iz? ?1212dIz3?0，得h2?d2 dh41 b2?d2?h2?d2
4h ∴ ?3（曲率半径尽可能大）
b 7－6 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形截面时，梁内最大正应力为?0；去掉上、下角后，最大正应力变为?max?k?0，试求： 1．k值与h值之间的关系；
2．?max为尽可能小的h值，以及这种情形下的k值。
4h0h3，Wz0?0 33M3M ?0??0max?z?3z
Wz0h0 解：Izh0? Izh?Izh0?2Iz04h0??23?h0h2y2(h0?y)dy
习题7-6图
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4h044434 ??h0(h0?h3)?(h0?h4)?h0h3?h4?h3(h0?h)
3333MMz ?max??hmax?z?
Wh24h(h0?h)33h033?maxh0h03???2 k? （1） ?02424h(4h?3h)0h(h0?h)3h(h0?h)334d(h2(h0?h))dWh43 ??h0?2h?3h2?0 dhdh388 h(h0?3h)?0，h = 0（舍去），h?h0
39 代入（1）：k?3h08888(h0)2(4h0?3?h0)()2(4?)9993 7－7 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz = 20 kN·m一个内力分量，Iz = 11.3×106mm4，其他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x方向的合力。
MM 解：FNx?A?xdA??zydA??zydA
A 1A 2IzIz2?1?81?3?0.9492
64?(12?8)???0.080Mz?0.07?y?0.006dy?y?0.088dy? ?0.07Iz?0?M?11? ??z?6??702?88?(802?702)??10?9
Iz?22? ???? ??20?103?611.3?10 ??143?103??143kN
M习题7-7图 |FNx|?yc*?z
220?0.0699m?70mm yc*?2?143 即上半部分布力系合力大小为143 kN（压力），作用位置离中心轴y = 70mm处，即位于腹板与翼缘交界处。
7－8 图示矩形截面（b·h）直梁，在弯矩Mz作用的Oxy平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围，假定在梁的纵截面上有y方向正应力?y存在，且沿梁长均匀分布。试： 1．导出?y??y(y)的表达式； 2．证明：?ymax???10?93?702?44?(802?702)
??h?xmax，?为中性面的曲率半径。 4? 解：1．先求?y(y)表达式： ?Fy?0
? ?Fy??2???y?1??y?d??cos??22??h?x2ysin?2?1?dy?0
习题7-8图
即 2?y?ysin?22??y?h2M?Mz?（?x??zy） ysindy?0，
IzIz2yO'Mz?12h2 即 2?y?ysin?2sin?(y?)?0
2Iz224? ?x-??2 ?2 22???d? ∴ ?y?Mzh2?(?y2) 2?yIz4?y?x?2（a）
Ox
2．由（a）式，令
d?ydy?0，得y = 0，则
(a)
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工程力学 第7章 习题..
