因式分解的常用方法
第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应
用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法.
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； (3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式：
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；
例.已知a，b，c是?ABC的三边，且a?b?c?ab?bc?ca，
222则?ABC的形状是（ ）
A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：a?b?c?ab?bc?ca?2a?2b?2c?2ab?2bc?2ca 三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am?an?bm?bn
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有
222222b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考
虑两组之间的联系。
解：原式=(am?an)?(bm?bn)
=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式！ =(m?n)(a?b) 例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
第三、四项为一组。 第二、三项为一组。
解
：
原
式
=
(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式
=(2ax?bx)?(?10ay?5by)
=2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y) 练习：分解因式1、a?ab?ac?bc 2、xy?x?y?1
2（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：x?y?ax?ay
22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。 解：原式=(x?y)?(ax?ay)
22 =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a)
例4、分解因式：a?2ab?b?c 解：原式=(a?2ab?b)?c =(a?b)?c =(a?b?c)(a?b?c)
练习：分解因式3、x?x?9y?3y 4、x?y?z?2yz
222222222222222综合练习：（1）x?xy?xy?y （2）ax?bx?bx?ax?a?b 22（3）x?6xy?9y?16a?8a?1 （4）a?6ab?12b?9b?4a
2223223432（5）a?2a?a?9 （6）4ax?4ay?bx?by
222222（7）x?2xy?xz?yz?y （8）a?2a?b?2b?2ab?1
22（9）y(y?2)?(m?1)(m?1) （10）(a?c)(a?c)?b(b?2a) （
11
）
a2(b?c)?b2(a?c)?c2(a?b)?2abc（12）
a3?b3?c3?3abc
四、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。
2特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律
例.已知0＜a≤5，且a为整数，若2x?3x?a能用十字相乘法分解因式，
2求符合条件的a.
解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求
??b2?4ac >0而且是一个完全平方数。 于是??9?8a为完全平方数，a?1
例5、分解因式：x?5x?6
2分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。 1 2
2解：x?5x?6=x?(2?3)x?2?3 1 3
2 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。 例6、分解因式：x?7x?6
2解：原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1
2=(x?1)(x?6) 1 -6
（-1）+（-6）= -7
练习5、分解因式(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5
22222练习6、分解因式(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24
2（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax?bx?c
2条件：（1）a?a1a2 a1 c1
（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)
2例7、分解因式：3x?11x?10
2分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：3x?11x?10=(x?2)(3x?5)
2练习7、分解因式：（1）5x?7x?6 （2）3x?7x?2
222 （3）10x?17x?3 （4）?6y?11y?10
2（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：a?8ab?128b
分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b
22 解：a?8ab?128b=a?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b)
222 =(a?8b)(a?16b) 练
2习
28、分解因式
2222(1)x?3xy?2y(2)m?6mn?8n(3)a?ab?6b
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、2x?7xy?6y 例10、xy?3xy?2 1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3
解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2)
22练习9、分解因式：（1）15x?7xy?4y （2）ax?6ax?8 63综合练习10、（1）8x?7x?1 （2）12x?11xy?15y
22222222（3）(x?y)?3(x?y)?10 （4）(a?b)?4a?4b?3
22xy?5xy?6x m2?4mn?4n2?3m?6n?2 （5）（6）
（7）x?4xy?4y?2x?4y?3（8）5(a?b)?23(a?b)?10(a?b)
22222222224x?4xy?6x?3y?y?10（10）12(x?y)?11(x?y)?2(x?y) （9）
222222思考：分解因式：abcx?(ab?c)x?abc
2222五、换元法。
例13、分解因式（1）2005x?(2005?1)x?2005
22 （2）(x?1)(x?2)(x?3)(x?6)?x 解：（1）设2005=a，则原式=ax?(a?1)x?a
222 =(ax?1)(x?a) =(2005x?1)(x?2005)
（2）型如abcd?e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=(x?7x?6)(x?5x?6)?x
设x2?5x?6?A，则x2?7x?6?A?2x ∴原式=(A?2x)A?x=A2?2Ax?x2 =(A?x)=(x?6x?6)
练习13、分解因式（1）(x?xy?y)?4xy(x?y)
222222222222（2）(x?3x?2)(4x?8x?3)?90
22（3）(a?1)?(a?5)?4(a?3)
432例14、分解因式（1）2x?x?6x?x?2
222222观察：此多项式的特点——是关于x的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。 方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
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