专题 07
导数有关的构造函数方法
一．知识点
基本初等函数的导数公式 (1) 常用函数的导数
① (C) ′＝ ________(C 为常数 ); ② (x) ′＝ ________； ③ ( x2) ′＝ ________； ④ 1 ′＝
________；
x
⑤ ( x) ′＝ ________． (2) 初等函数的导数公式
① ( xn) ′＝ ________； ② (sin x) ′＝ __________ ；
③ (cos x) ′＝ ________； ④ (ex) ′＝ ________； ⑤ ( ax) ′＝ ___________； ⑥ (ln x) ′＝ ________； ⑦ (log ax) ′＝ __________ ． 5．导数的运算法则
(1)[ f(x) ±g(x)] ＝′______ __________________ ； (2)[ f(x) ·g(x)] ＝′_________________________；
f （ x）
(3)
） ′＝ ____________________________ ．
g（ x 6．复合函数的导数
(1) 对于两个函数 y＝ f(u)和 u＝ g( x)，如果通过变量 u，y 可以表示成 x 的函数，那么称这两个函数
f (u)和 u＝ g(x)) 的复合函数为 y＝ f(g(x))．
(2) 复合函数 y＝ f(g(x))的导数和函数 y＝ f(u)，u ＝g( x)的导数间的关
系为 ___________________ ，即 导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积． 二．题型分析 1.构造多项式函 数 2.构造三角函数型
3.构造 ex 形式的函数 4.构造成积的形式
5.与 ln x 有关的构造
(函数 y＝ y 对 x 的
6.构造成商的形式 7.对称问题
（一）构造多项式函数 例 1．已知函数 f x x
R 满足 f l
1 ，且 f x 的导函数 f ' x
1 ，则 f x 2
x
2 2
1 的解集为（
） A. C. 【答案】 D
B. x | x D. x | x 1
1
考点：函数的单调性与导数的关系
.
【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性与函数的导数之间的关系，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题
的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据题设条件，构造新函数
F x ，利用新函数的性质
是解答问题的关键，属于中档试题
.
练习 1.设函数
f ( x) 在 R 上存在导函数 f '( x) ，对于任意的实数 x ，都有
，当
x (
A ． [
,0) 时，
.若
B ． [
，则实数 m 的取值范围是（
C．[ 1, )
D．[ 2,
）
1
, )
3
, )
)
2 2
【答案】 A 【解析】 ∵
，设 ，则
，∴ g( x) 为奇函
数 ， 又
， ∴ g (x) 在 ( ,0) 上 是 减 函 数 ， 从 而 在 R 上 是 减 函 数 ， 又
等价于
，即 ， ∴ m 1 m ，解得 m
1 2
．
.
考点：导数在函数单调性中的应用
【思路点睛】 因为
，设 ，则
，可得 g( x)
为奇函数，又
，得 g( x) 在 ( ,0) 上是减函数，从而在
.
R 上是减函数，在根据函
数的奇偶性和单调性可得
，由此即可求出结果
练习 2.设奇函数
在 上存在导数 ,且在 上 ,若 ,则实
数 的取值范围为（ ） A． C．
【答案】 B
B． D．
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性及其应用，其中解答中涉及到利用导数求函数的单调性、利用导数研究函数的极值、以及函数的奇偶性的判定等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归的思想方法，
以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，解答中得出函数的奇函数和函数的单调性是解答的关键
.
练习 3.设函数 f ( x) 在 R 上存在导函数 f ( x) ，对任意 x
R ，都有
） D． 2,
，且 x (0, ) 时，
f (x)
A． 1,
x ，若
B．
，则实数 a 的取值范围是（
,1
C．
,2
【答案】 B
【解析】 令
，则 ，则
，故 g( x) 在 (0,
) 单调递增， 再结合 g(0)
， 得 g(x) 为 R 上的奇函数． ∵ x 0 时，
0
及 g(x) 为奇函数，知 g( x) 在 (
, ) 为增函数，又
则
，即
a ,1 ．故选 B．
考点：函数的单调性及导数的应用
.
【方法点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性，然后构造函数，通过新函数的性质把已知条件转化 .
f (x) x
为关于 a 的不等式来求解 本题解答的关键是由已知条件
进行联想，构造出新函数 ，然后结合
来研究函数 g x 的奇偶性和单调性，再通过要解的不 等式
构造
，最终得到关于 a 的不等式，解得答案 .
（二）构造三角函数型
例 2．已知函数
f x 的定义域为 R , f ' x 为函数 f
x 的导函数，当 x 0,
时，
且
x R ，
.则下列说法一定正确的是（ ） A. B.
C.
D.
【答案】 B
【解析】 令
，则
.因为当 x 0,
时，
，即
，所以 ，所以
在 x
0,
上单调递增 .又
x R ，
，所以
，所以
，故为奇函数，所以
在 R 上单调递增，所以
.即
，故选 B.
练习 1．已知函数
y f (x) 对任意的
满足 ） （其中 f ' ( x) 是函数
f ( x) 的导函数），则下列不等式成立的是（
A． B． C．
D． 【答案】 A
【解析】 构造 函数
， 则
，即函数 g（ x）在 单调递增，
则
， ，即 ， 故A正确．
，即
练习 2．定义在 (0,
) 上的函数 f ( x) ， f ' x 是它的导函数，且恒有 2
成立，则（ ） A. B.
C．
D.
【答案】 D
【解析】 在区间 0,
上，有 ，即 令
2
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