(1) 如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值 ．(2) 如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值 ．
二、典型例题
三、
a?b例1．设a、b?R，试比较，
2?2a2?b2ab，，的大小．
112?ab222?a?b?a?b变式训练1：（1）设a,b?R，已知命题p:a?b；命题q:?，则p是q成 ??2?2?立的 （ ）
A．必要不充分条件 C．充分必要条件
2B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
22（2）若a,b,c为△ABC的三条边，且S?a?b?c,p?ab?bc?ac，则（ ） A．S?2p B． p?S?2p C．S?p D．p?S?2p （3）设x > 0, y > 0,a?x?yxy?, b?， a 与b的大小关系（ ）
1?x?y1?x1?yA．a >b B．a
（4）b克盐水中，有a克盐（b?a?0），若再添加m克盐（m>0）则盐水就变咸了， 试根据这一事实提炼一个不等式 .
例2. 已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），?axb?1，求x＋y的最小值. yab ??1，若 x＋y的最小值为18，求a，b的值．
xy变式训练2：已知a，b，x，y∈R+（a，b为常数），a＋b＝10，
例3. 已知a, b都是正数，并且a ? b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 变式训练3：比较下列两个数的大小： （1）2?1与2?3； （2）2?3与6?5；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明
例4. 甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．
(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数. (2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？
变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法：
第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机
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并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比． 另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和． 假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元． 请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？
三、归纳小结
1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．
2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”．
第3课时 不等式证明（一）
一、基础过关
1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，分比差、比商两种形式．
?a?b?0?a?b(1)作差比较法，它的依据是：? a?b?0?a?b ??a?b?0?a?b?它的基本步骤：作差——变形——判断，差的变形的主要方法有配方法，分解因式法，分子有理化等． (2) 作商比较法，它的依据是：若a>0，b>0，则
?????????a?1?a?bba?1?a?b ba?1?a?bb它的基本步骤是：作商——变形——判断商与1的大小．它在证明幂、指数不等式中经常用到．
2．综合法：综合法证题的指导思想是“由因导果”，即从已知条件或基本不等式出发，利用不等式的性质，推出要证明的结论．
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3．分析法：分析法证题的指导思想是“由果索因”，即从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够确定这些充分条件都已具备，那么就可以判定所要证的不等式成立．
二、典型例题
例1. 已知a?0,b?0，求证：
ab?ba?a?b
x1y1＞，x＞y.求证：＞． abx?ay?b变式训练1：已知a、b、x、y∈R+且
例2. 已知a、b∈R+，求证：(a?b)(a?b?1)?22(ab?ba) 变式训练2：已知a、b、c?R，求证：a2?b2?c2?4?ab?3b?2c
例3. 已知△ABC的外接圆半径R＝1，S?ABC?证：t?s
变式训练3：若a,b,c为△ABC的三条边，且S?a?b?c,p?ab?bc?ac，则（ ） A．S?2p
B． p?S?2p C．S?p D．p?S?2p
1． a2221111，a、b、c是三角形的三边，令s?a?b?c，t???．求4abc例4. 设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的两个根x1、x2满足0?x1?x2?(1) 当x∈(0，x1)时，证明：x (2) 设函数f (x)的图象关于直线x＝x0对称，证明：x0< x1． 2变式训练4：设f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)＞0，f(1)＞0， 求证：(1)a＞0且-2＜ a＜-1； b(2)方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根. - 13 - 三、归纳小结 1．比较法是证明不等式的一个最基本的方法，而又以作差比较最为常见．作差比较的关键在于作差后如何变形来达到判断差值符号之目的，变形的方向主要是因式分解和配方． 2．综合法证明不等式要找出条件和结论之间的内在联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式左右两端的差异和联系，合理进行变换，去异存同，恰当选择已知不等式，找到证题的突破口． 3．分析法是“执果索因”重在对命题成立条件的探索，寻求不等式成立的充分条件，因此有时须先对原不等式化简．常用的方法有：平方，合并，有理化去分母等．但要注意所有这些变形必须能够逆推，书写格式要严谨规范． 4．分析法和综合法是对立统一的两个方法．在不等式的证明中，我们常用分析法探索证明的途径后，用综合法的形式写出证明过程．这种先分析后综合的思路具有一般性，是解决数学问题的一种重要数学思想． 第4课时 不等式证明（二） 一、基础过关 证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等． 反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法． 换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法． 放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法． 判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立． 二、典型例题 例1. 已知f(x)＝x2＋px＋q， (1) 求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2) 求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于． 变式训练1：设a、b、c?R?，那么三个数a?A．都不大于2 111、b?、c? （ ） bca12B．都不小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 例2. （1） 已知x2＋y2＝1，求证:?1?a2?y?ax?1?a2. （2） 已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求证:a2?2ab?b2?2. - 14 - 变式训练2： 设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋c≥0时，c的取值范围是（ ） ??) A.[2?1，，??) D.(??，，2?1] B. (??，，2?1] C.[2?1，， 例3. 若n?N，且n?2，求证：?121111?2?2?????2?1 n?123n1，则f (n)，g (n)，?(n)的大小顺序为____________． 2n变式训练3：若f(n)＝n2?1－n，g(n)＝n－n2?1，?(n)＝ 1x2?x?13?． 例4. 证明：?22x?12 变式训练4：设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a、b、c?R且a?0)，若函数y?f(x)的图象与直线y?x和y??x均无公共点． (1) 求证：4ac?b2?1(2) 求证：对于一切实数x恒有|ax2?bx?c|? - 15 - 1 4|a|
2020年高考数学·第一轮专题复习讲义
